【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性;
(2)若存在,使得對恒成立,求的最大值.
【答案】(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;(2).
【解析】
(1)先對函數(shù)求導(dǎo),然后根據(jù)的正負(fù)以及定義域,分類討論在上的單調(diào)性;
(2)對分類:,,,考慮每種情況下所滿足的不等式,并通過統(tǒng)一變量構(gòu)造新函數(shù)分析并求解出的最大值.
(1),
,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),由,得.
①當(dāng)時(shí),
時(shí),
函數(shù)在上單調(diào)遞增;
②當(dāng)時(shí),,
時(shí),為減函數(shù),
時(shí),為增函數(shù);
綜上可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,
在上單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)時(shí),由,得對恒成立.
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減,不能使對恒成立;
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),由,
得,
設(shè)函數(shù)
則
令,可得,
時(shí),為減函數(shù),
時(shí),為增函數(shù).
.
設(shè)
,解得
當(dāng)時(shí),為增函數(shù),
當(dāng)時(shí),為減函數(shù).
的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面,,點(diǎn)分別為的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面EFD;
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的不等式m-|x-2|≥1,其解集為[0,4].
(1)求m的值;
(2)若a,b均為正實(shí)數(shù),且滿足a+b=m,求a2+b2的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護(hù)意識(shí),高二年級準(zhǔn)備成立一個(gè)環(huán)境保護(hù)興趣小組.該年級理科班有男生400人,女生200人;文科班有男生100人,女生300人.現(xiàn)按男、女用分層抽樣從理科生中抽取6人,按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人,組成環(huán)境保護(hù)興趣小組,再從這10人的興趣小組中抽出4人參加學(xué)校的環(huán)保知識(shí)競賽.
(1)設(shè)事件為“選出的這4個(gè)人中要求有兩個(gè)男生兩個(gè)女生,而且這兩個(gè)男生必須文、理科生都有”,求事件發(fā)生的概率;
(2)用表示抽取的4人中文科女生的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線(),其準(zhǔn)線方程,直線過點(diǎn)(),且與拋物線交于、兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線方程,并注明:的值與直線傾斜角的大小無關(guān);
(2)若為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),記的最小值為函數(shù),求的解析式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】私家車的尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一,因此在生活中我們應(yīng)該提倡低碳生活,少開私家車,盡量選擇綠色出行方式,為預(yù)防霧霾出一份力.為此,很多城市實(shí)施了機(jī)動(dòng)車車尾號限行,我市某報(bào)社為了解市區(qū)公眾對“車輛限行”的態(tài)度,隨機(jī)抽查了人,將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表:
年齡(歲) | ||||||
頻數(shù) | ||||||
贊成人數(shù) |
()完成被調(diào)查人員的頻率分布直方圖.
()若從年齡在,的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取人進(jìn)行追蹤調(diào)查,求恰有人不贊成的概率.
()在在條件下,再記選中的人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△的內(nèi)角、、的對邊分別為、、,其中,且,延長線段到點(diǎn),使得,.
(1)求證:是直角;
(2)求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某旅游勝地欲開發(fā)一座景觀山,從山的側(cè)面進(jìn)行勘測,迎面山坡線由同一平面的兩段拋物線組成,其中所在的拋物線以為頂點(diǎn)、開口向下,所在的拋物線以為頂點(diǎn)、開口向上,以過山腳(點(diǎn))的水平線為軸,過山頂(點(diǎn))的鉛垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖(單位:百米).已知所在拋物線的解析式,所在拋物線的解析式為
(1)求值,并寫出山坡線的函數(shù)解析式;
(2)在山坡上的700米高度(點(diǎn))處恰好有一小塊平地,可以用來建造索道站,索道的起點(diǎn)選擇在山腳水平線上的點(diǎn)處,(米),假設(shè)索道可近似地看成一段以為頂點(diǎn)、開口向上的拋物線當(dāng)索道在上方時(shí),索道的懸空高度有最大值,試求索道的最大懸空高度;
(3)為了便于旅游觀景,擬從山頂開始、沿迎面山坡往山下鋪設(shè)觀景臺(tái)階,臺(tái)階每級的高度為20厘米,長度因坡度的大小而定,但不得少于20厘米,每級臺(tái)階的兩端點(diǎn)在坡面上(見圖).試求出前三級臺(tái)階的長度(精確到厘米),并判斷這種臺(tái)階能否一直鋪到山腳,簡述理由?
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