Question

【題目】已知正整數(shù)數(shù)列滿足：，，（）.

（1）已知，，試求、的值；

（2）若，求證：；

（3）求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)遞推式賦值逆推，分別求出即可求出的值；

（2）根據(jù)遞推式賦值求出的值，即可找出數(shù)列的規(guī)律，由此得證；

（3）依據(jù)，討論與的大小關系即可得出．

（1）令得，，解得；

令得，，解得；

令得，，解得；

令得，，解得；

所以．

（2）證明：令得，，因為數(shù)列各項為正整數(shù)，

2019的正整數(shù)約數(shù)有1，3，673，2019，因此的值可能為3，673，2019，即

或或.

當時，，，所以不符題意，應舍去；

當時，，，所以不符題意，應舍去；

當時，，，

，，……

所以，當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，；

故，不等式成立．

（3）由（1）（2）可知，當或可以滿足題意，所以

或．

．

①當時，奇數(shù)項都相等，偶數(shù)項都相等且，即有，因為數(shù)列各項為正整數(shù)，且，所以或或或

此時或；

②當時，奇數(shù)項遞增，偶數(shù)項遞增，而 ，隨著 的增大，存在時，，這樣與條件矛盾，故不成立；

③當時，奇數(shù)項遞減，偶數(shù)項遞減，而 ，隨著 的增大，存在時，，這樣與條件矛盾，故不成立；

綜上，或，即．