【題目】已知函數(shù).

1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)證明:當(dāng)時(shí),.

【答案】1)當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減(2)證明見解析;

【解析】

1)根據(jù),求導(dǎo)得到,結(jié)合函數(shù)的定義域,分兩種情況討論求解.

2)當(dāng)時(shí),,將證明,轉(zhuǎn)化為證明成立,令,用導(dǎo)數(shù)法結(jié)合零點(diǎn)存在定理證明即可.

解法一:(1)因?yàn)?/span>,

所以,

當(dāng)時(shí),,即函數(shù)單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),令,即,解得

,即,解得,

綜上所述:當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.

2)當(dāng)時(shí),,

欲證,只需證,即證明,

,

所以

,已知函數(shù)單調(diào)遞增.

,,所以存在唯一,使得,

所以當(dāng)時(shí),,即;

當(dāng)時(shí),,即;

所以函數(shù)單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí),,

因?yàn)?/span>,所以,所以,即,

所以不等式成立,即當(dāng)時(shí),.

解法二:(1)同解法一

2)當(dāng)時(shí),,由(1)知:

為增函數(shù),在為減函數(shù),

所以,所以,即.

欲證,只需證,即證,

即證,即只需證,

,則,

;令

所以函數(shù)為減函數(shù),在為增函數(shù),

所以,所以不等式成立,

即當(dāng)時(shí),.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.B.C.D.

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