Question

討論函數(shù)f(x)=

ax

x2-1

(-1＜x＜1)的單調(diào)性并證明．

Answer 1

分析：先在定義域上取值，再作差、變形，變形徹底后根據(jù)式子的特點，對a進(jìn)行分類討論判斷符號、下結(jié)論．

解答：證明：設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，
則f(x1)-f(x2)=

ax1

x 2 1 -1

-

ax2

x 2 2 -1

=

a(x1x2+1)(x2-x1)

( x 2 2 -1)( x 2 1 -1)

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁x₂+1＞0，x₂-x₁＞0，

x

2 1

-1＜0，

x

2 2

-1＜0，
∴

(x1x2+1)(x2-x1)

( x 2 2 -1)( x 2 1 -1)

＞0，
∴當(dāng)a＞0時，f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在（-1，1）是減函數(shù)，
當(dāng)a＜0時，f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，
當(dāng)a=0時，f（x）=0，∴f（x）在（-1，1）上不具有單調(diào)性．

點評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的證明方法：定義法，關(guān)鍵是變形一定徹底，直到能明顯的判斷出符號為止．