Question

【題目】某工廠抽取了一臺設(shè)備在一段時間內(nèi)生產(chǎn)的一批產(chǎn)品，測量一項質(zhì)量指標(biāo)值，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）計算該樣本的平均值，方差；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）

（2）根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這臺設(shè)備在正常狀態(tài)下生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均值，近似為樣本方差.任取一個產(chǎn)品，記其質(zhì)量指標(biāo)值為.若，則認(rèn)為該產(chǎn)品為一等品；，則認(rèn)為該產(chǎn)品為二等品；若，則認(rèn)為該產(chǎn)品為不合格品.已知設(shè)備正常狀態(tài)下每天生產(chǎn)這種產(chǎn)品1000個.

（i）用樣本估計總體，問該工廠一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中不合格品是否超過？

（ii）某公司向該工廠推出以舊換新活動，補(bǔ)足50萬元即可用設(shè)備換得生產(chǎn)相同產(chǎn)品的改進(jìn)設(shè)備.經(jīng)測試，設(shè)備正常狀態(tài)下每天生產(chǎn)產(chǎn)品1200個，生產(chǎn)的產(chǎn)品為一等品的概率是，二等品的概率是，不合格品的概率是.若工廠生產(chǎn)一個一等品可獲得利潤50元，生產(chǎn)一個二等品可獲得利潤30元，生產(chǎn)一個不合格品虧損40元，試為工廠做出決策，是否需要換購設(shè)備？

參考數(shù)據(jù)：①；②；③，.

Answer 1

【答案】(1) ； (2) （i）見解析（ii）見解析

【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，用各組區(qū)間的中點值作代表可求得樣本的平均值，方差。

（2）根據(jù)（1）中求得的平均值，方差，可求得在范圍內(nèi)的頻率，進(jìn)而可判斷出不合格品是否超過；或利用正太分布曲線，求后進(jìn)行判斷。

跟題意，求得A設(shè)備與B設(shè)備的盈利均值，并根據(jù)每天多盈利額判斷即可。

（1）由頻率分布直方圖可得

.

（2）（i）方法一：由（1）得，

由圖可得質(zhì)量指標(biāo)值在和的頻率為，

所以該工廠一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中不合格品超過.

方法二：由于.

所以該工廠一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中不合格品超過.

（ii）設(shè)，分別為設(shè)備，一天為工廠創(chuàng)造的利潤，

則

，

，

所以采用新設(shè)備利潤每天增加，

因此，只需56天使用設(shè)備產(chǎn)生的利潤就超過使用設(shè)備產(chǎn)生的利潤和換購費(fèi)用總和，從長遠(yuǎn)來看，應(yīng)該換購設(shè)備.