Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且短軸長(zhǎng)為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）若與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且

OA

•

OB

=

2

3

，S△AOB=

2

3

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）短軸的長(zhǎng)求得b，進(jìn)而根據(jù)離心率求得a和c的關(guān)系，則a和b的關(guān)系可求得，最后根據(jù)b求得a，則橢圓的方程可得．
（2）設(shè)出直線l的方程，及A，B的坐標(biāo)，把直線與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而根據(jù)

OA

•

OB

=

2

3

求得m和k的關(guān)系式，同時(shí)根據(jù)三角形的面積求得k和m的另一關(guān)系式，最后聯(lián)立求得m和k，則l的方程可得．

解答：解：（1）短軸長(zhǎng)2b=2，b=1，e=

c

a

=

2

2

又a²=b²+c²，所以a=

2

，c=1，所以橢圓的方程為

x2

2

+y2=1
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

y=kx+m x2+2y2=2

，
消去y得，（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0

x1+x2= -4mk 1+2k2 x1•x2= 2m2-2 1+2k2

，

OA

•

OB

=x1x 2+y1y 2=

2

3

即

3m2-2k2-2

1+2k2

=

2

3

即9m²=10k²+8S△AOB=

1

2

|m||x1-x2|=

1

2

m2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

1

2

8m2(1+2k2-m2) (1+2k2)2

=

2

3

即9m²（1+2k²-m²）=（1+2k²）²

9m2(1+2k2-m2)=(1+2k2)2 9m2=10k2+8

，
解得k²=1，m²=2，所以y=±x±

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力和基本運(yùn)算的能力．