Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求證：當(dāng)時(shí)，；

（2）若函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同交點(diǎn)其中，證明：存在，使得在處的切線斜率與在處的切線斜率相等.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)，得 ，，用導(dǎo)數(shù)法研究其單調(diào)性，得即可.

（2）根據(jù)函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不同的根，，再假設(shè)存在，使得在處的切線斜率與在處的切線斜率相等.轉(zhuǎn)化為有解.令，因?yàn)?/span>，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，一正一負(fù)，設(shè)正根為m，有再證即可.

（1）因?yàn)?/span>，所以 ，

令，

所以，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，取最大值0.

所以.

即.

（2）因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

所以在上有兩個(gè)不同的根，，

假設(shè)存在，使得在處的切線斜率與在處的切線斜率相等.

所以有解.

令，

因?yàn)?/span>，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，一正一負(fù)，設(shè)正根為m，有

當(dāng)時(shí)，，即所以在上遞增，

當(dāng)時(shí)，，即所以在上遞減，

因?yàn)?/span>在上有兩個(gè)不同的根，，

所以，，

即存在，使得在處的切線斜率與在處的切線斜率相等.