Question

【題目】已知函數(shù),

（Ⅰ）若在上的最大值為，求實數(shù)b的值；

（Ⅱ）若對任意x∈[1，e]，都有恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，設，對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=F（x）上是否存在兩點P、Q，使得△POQ是以O（O為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）存在

【解析】

試題（1）解決類似的問題時，注意區(qū)分函數(shù)的最值和極值．知道函數(shù)的最值時，要先求函數(shù)在區(qū)間內使的點，再計算函數(shù)在區(qū)間內所有使的點和區(qū)間端點處的函數(shù)值，最后比較即得；（2）對于恒成立的問題，常用到以下兩個結論：（1），（2）；（3）對于是否存在問題先假設存在，如推出矛盾則不存在，若不矛盾則存在

試題解析：（Ⅰ）解：由，得得f′（x）=-3x2+2x=-x（3x-2），令f′（x）=0，得x=0或

當x變化時（Ⅰ）若在上的最大值為，求實數(shù)b的值列表如下：

x			0
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）		單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

即最大值為

（2）由，得

且等號不能同時取得，，即

恒成立，即

令，則

當，從而

在上為增函數(shù)，

（3）由條件

假設曲線y=F（x）上是否存在兩點P、Q滿足題意，則P,Q只能在y軸的兩側，不妨設則，是以是坐標原點）為直角頂點的直角三角形，是否存在等價于該方程t>0且是否有根

當時，方程可化為化簡得此方程無解；

若時，方程即設，顯然，當時，即在上是增函數(shù)，值域是，即，所以當時方程總有解，即對于任意正實數(shù)a曲線y=F（x）上總存在兩點P、Q，使得△POQ是以O（O為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上．