Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若是函數(shù)的一個極值點(diǎn)，試討論的單調(diào)性；

（2）若在R上有且僅有一個零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零，計(jì)算出參數(shù)以及，再對求導(dǎo)，對參數(shù)進(jìn)行分類討論，從而求得該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，通過討論構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性求得值域，即可求得參數(shù)的取值范圍.

（1），

因?yàn)?/span>是函數(shù)的一個極值點(diǎn)，

則，所以，

則，

當(dāng)，

當(dāng)時，恒成立，

在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上所述：

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）在上有且僅有一個零點(diǎn)，

即方程有唯一的解，令，

可得，

由，

得或，

（1）當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，

所以，所以的取值范圍為.

（2）當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，

所以，即，

故的取值范圍為.

（3）當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，

所以，即，

即的取值范圍為.

所以，當(dāng)或，

即或時，在上有且只有一個零點(diǎn)，

故的取值范圍為.