【題目】已知橢圓的離心率為,且過點.
(Ⅰ)求橢圓的方程.
(Ⅱ)若, 是橢圓上兩個不同的動點,且使的角平分線垂直于軸,試判斷直線的斜率是否為定值?若是,求出該值;若不是,說明理由.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:(I)由離心率可得關系,再將點坐標代入,可得間關系,又,解方程可得的值;(II)由的角平分線總垂直于軸,可判斷直線的斜率互為相反數(shù),由兩直線都過點,由點斜式可寫出直線方程.一一與橢圓方程聯(lián)立,消去的值,可得一元二次方程,又點滿足條件,可求得點的坐標,用表示.再由斜率公式可得直線的斜率為定值.
試題解析:
(Ⅰ) 因為橢圓的離心率為, 且過點,
所以, .
因為,
解得, ,
所以橢圓的方程為.
(Ⅱ)法1:因為的角平分線總垂直于軸, 所以與所在直線關于直線對
稱. 設直線的斜率為, 則直線的斜率為.
所以直線的方程為,直線的方程為.
設點, ,
由消去,得. ①
因為點在橢圓上, 所以是方程①的一個根, 則,
所以.
同理.
所以.
又.
所以直線的斜率為.
所以直線的斜率為定值,該值為.
法2:設點,
則直線的斜率, 直線的斜率.
因為的角平分線總垂直于軸, 所以與所在直線關于直線對稱.
所以, 即, ①
因為點在橢圓上,
所以,②
. ③
由②得, 得, ④
同理由③得, ⑤
由①④⑤得,
化簡得, ⑥
由①得, ⑦
⑥⑦得.
②③得,得.
所以直線的斜率為為定值.
法3:設直線的方程為,點,
則,
直線的斜率, 直線的斜率.
因為的角平分線總垂直于軸, 所以與所在直線關于直線對稱.
所以, 即,
化簡得.
把代入上式, 并化簡得
. (*)
由消去得, (**)
則,
代入(*)得,
整理得,
所以或.
若, 可得方程(**)的一個根為,不合題意.
若時, 合題意.
所以直線的斜率為定值,該值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù).
(1)若函數(shù), 的最小值為-16,求實數(shù)的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上是單調減函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(3)當時,不等式的解集為,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某知名品牌汽車深受消費者喜愛,但價格昂貴。某汽車經銷商退出三種分期付款方式銷售該品牌汽車,并對近期100位采用上述分期付款的客戶進行統(tǒng)計分析,得到如下的柱狀圖。已知從三種分期付款銷售中,該經銷商每銷售此品牌汽車1輛所獲得的利潤分別是1萬元,2萬元,3萬元,F(xiàn)甲乙兩人從該汽車經銷商處,采用上述分期付款方式各購買此品牌汽車一輛。以這100 位客戶所采用的分期付款方式的頻率代替1位客戶采用相應分期付款方式的概率。
(Ⅰ)求甲乙兩人采用不同分期付款方式的概率;
(Ⅱ)記(單位:萬元)為該汽車經銷商從甲乙兩人購車中所獲得的利潤,求的分布列和期望。
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,側棱底面, 垂直于和, , , 是棱的中點.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求平面與平面所成的二面角的余弦值;
(Ⅲ)設點是直線上的動點, 與平面所成的角為,求的最大值.
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【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).
(1)求的解析式;
(2)證明:函數(shù)在定義域上是增函數(shù);
(3)設是否存在正實數(shù)使得函數(shù)在內的最小值為?若存在,求出的值;若存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某項考試按科目A、科目B依次進行,只有當科目A成績合格時,才可繼續(xù)參加科目B的考試.已知每個科目只允許有一次補考機會,兩個科目成績均合格方可獲得證書.現(xiàn)某人參加這項考試,科目A每次考試成績合格的概率均為,科目B每次考試成績合格的概率均為.假設各次考試成績合格與否均互不影響.
(1)求他不需要補考就可獲得證書的概率;
(2)在這項考試過程中,假設他不放棄所有的考試機會,記他參加考試的次數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望E.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校團委組織了“文明出行,愛我中華”的知識競賽,從參加考試的學生中抽出60名學生,將其成績(單位:分)整理后,得到如圖頻率分布直方圖(其中分組區(qū)間為[40,50),[50,60),…,[90,100]).
(1)求成績在[70,80)的頻率和[70,80)這組在頻率分布直方圖中的縱坐標a的值;
(2)求這次考試平均分的估計值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)= ,g(x)=a(x+b)(0<a≤1,b≤0).
(1)討論函數(shù)y=f(x)g(x)的奇偶性;
(2)當b=0時,判斷函數(shù)y= 在(﹣1,1)上的單調性,并說明理由;
(3)設h(x)=|af2(x)﹣ |,若h(x)的最大值為2,求a+b的取值范圍.
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