【題目】已知橢圓的離心率為,且過點

(Ⅰ)求橢圓的方程.

(Ⅱ)若, 是橢圓上兩個不同的動點,且使的角平分線垂直于軸,試判斷直線的斜率是否為定值?若是,求出該值;若不是,說明理由.

【答案】(1)(2)

【解析】試題分析:(I)由離心率可得關系,再將點坐標代入,可得間關系,又,解方程可得的值;(II)由的角平分線總垂直于軸,可判斷直線的斜率互為相反數(shù),由兩直線都過點,由點斜式可寫出直線方程.一一與橢圓方程聯(lián)立,消去的值,可得一元二次方程,又點滿足條件,可求得點的坐標,用表示.再由斜率公式可得直線的斜率為定值.

試題解析:

() 因為橢圓的離心率為, 且過點,

所以, .

因為,

解得, ,

所以橢圓的方程為.

()法1:因為的角平分線總垂直于, 所以所在直線關于直線

. 設直線的斜率為, 則直線的斜率為.

所以直線的方程為,直線的方程為.

設點, ,

消去,.

因為點在橢圓, 所以是方程的一個根, ,

所以.

同理.

所以.

.

所以直線的斜率為.

所以直線的斜率為定值,該值為.

法2:設點,

則直線的斜率, 直線的斜率.

因為的角平分線總垂直于, 所以所在直線關于直線對稱.

所以, 即, ①

因為點橢圓,

所以,②

. ③

由②得, 得, ④

同理由③得, ⑤

由①④⑤得,

化簡得, ⑥

由①得, ⑦

⑦得.

③得,得.

所以直線的斜率為為定值.

法3:設直線的方程為,點,

,

直線的斜率, 直線的斜率.

因為的角平分線總垂直于, 所以所在直線關于直線對稱.

所以, 即,

化簡得.

代入上式, 并化簡得

. (*)

消去, (**)

,

代入(*)得,

整理得,

所以.

, 可得方程(**)的一個根為,不合題意.

時, 合題意.

所以直線的斜率為定值,該值為.

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