Question

【題目】已知橢圓，橢圓經(jīng)過橢圓C1的左焦點F 和上下頂點A，B.設(shè)斜率為k的直線l與橢圓C2相切，且與橢圓C1交于P，Q兩點.

（1）求橢圓C2的方程；

（2）①若，求k的值；

②求PQ弦長最大時k的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】

（1）分別求出C1的左焦點與上下頂點的坐標，可得橢圓C2的的值，可得橢圓C2的方程；

（2）①設(shè)直線l的方程為與橢圓C2聯(lián)立，由直線與橢圓相切，可得，

可得的關(guān)系，同時直線l與橢圓C1的方程聯(lián)立，，，由韋達定理結(jié)合，即，代入可得k的值；

②由①知，可得關(guān)于的函數(shù)，化簡利用基本不等式可得PQ弦長最大時k的值.

解：（1）由題意可知，橢圓C1的左焦點，

上下頂點，，

所以橢圓C2的左頂點為，上下頂點，，

所以，，

所以橢圓C2的方程為.

（2）設(shè)直線l的方程為與橢圓C2：方程聯(lián)立，消去y得，

，

因為直線與橢圓相切，所以，

整理得，，

直線l與橢圓C1的方程聯(lián)立得，，

其中.

設(shè)，，

則.

①因為，所以，

即

，

所以.

②由①知

，

設(shè)，則.

所以當時，PQ的長最大，最大值為.