Question

【題目】已知橢圓的離心率為，若橢圓的長軸長等于的直徑，且，成等差數(shù)列

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)、是橢圓上不同的兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，試求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）求得圓的直徑，結(jié)合等差中項(xiàng)，聯(lián)立方程組，求解即可；

（Ⅱ）設(shè)線段所在的直線方程為：，聯(lián)立直線與橢圓的方程消元可得，由可得，然后表示出直線的方程，得到即可.

（Ⅰ）由成等差數(shù)列得：

又圓的方程可化為，

所以，，

∴，，

所以橢圓的方程為：

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，所以可設(shè)線段所在的直線方程為：

聯(lián)立方程組，消去整理得：

則有：，且

又由橢圓的性質(zhì)得：，，且

所以，

即，即①

又設(shè)線段的中點(diǎn)為，

則，

所以當(dāng)時(shí)，直線的方程為：

把代入此方程得：

整理得

由①得：

又當(dāng)時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性知，直線與軸重合，，

所以的取值范圍是．