解答題

設(shè)f(x)＝x2＋bx＋c(b，c為常數(shù))，方程f(x)－x＝0的兩個實根為x1，x2，且滿足x1＞0，x2－x1＞1．

(1)求證：b2＞2(b＋2c)；

(2)設(shè)0＜t＜x1，比較f(t)與x1的大��；

(3)當x∈[－1，1]時，對任意x都有|f(x)|≤1，

求證：|1＋b|≤2．

答案：
解析：

　　證明：(1)∵方程f(x)－x＝0的兩根為x1，x2，因而有(x2－x1)2＝b2－2b＋1－4c．

　　又x2－x1＞0，∴b2－2b＋1－4c＞1，∴b2＞2(b＋2c)．

　　(2)∵x1是方程f(x)－x＝0的根，∴x1＝f(x1)，

　　∴f(t)－x1＝f(t)－f(x1)＝(t－x1)(t＋x1＋b)＝(t－x1)(t＋1－x2)，

　　∵x1＋x2＝1－b，∴0＜t＜x1，∴t－x1＜0，

　　又x2－x1＞1，即x1＋1－x2＜0，

　　∴t＋1－x2＜x1＋1－x2＜0，故f(t)－x1＞0．

　　(3)∵x∈[－1，1]時，但有|f(x)|≤1，

　　∴|f(0)|＝|c|≤1，|f(1)|＝|1＋b＋c|≤1，

　　從而|1＋b|＝|1＋b＋c－c|≤|1＋b＋c|＋|－c|＝|1＋b＋c|＋|c|≤1＋1≤2．


練習冊系列答案
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