【題目】已知函數(shù)f（x）=ax﹣lnx﹣1．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求證： ．

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．

由題意可得 在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，

所以a≥（ ）max，又y= 在區(qū)間[1，+∞）上遞減，

所以（ ）max=1，

即實數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）


（2）證明：取a=1，由（1）有f（x）在區(qū)間[1，+∞）上遞增，

所以，當x＞1時，f（x）＞f（1）=0即lnx＜x﹣1，

因為 ，

所以 ，即 ，

所以： ， ，

ln ＜ ，…， ，ln ＜ ，

所以： ，

ln2﹣ln1+ln3﹣ln2+…+ln（n+1）﹣lnn+ln（n+2）﹣ln（n+1）＜1+ + +…+ ，

即 ，得證


【解析】（1）由題意可得 在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，所以a≥（ ）max，由單調(diào)性可得最大值，即可得到a的范圍；（2）取a=1，由（1）有f（x）在區(qū)間[1，+∞）上遞增，可得當x＞1時，f（x）＞f（1）=0即lnx＜x﹣1，因為 ，所以 ，即 ，運用累加法，以及對數(shù)的運算性質(zhì)即可得證．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx（a，b為常數(shù)，且a≠0）滿足條件：f（x﹣1）=f（3﹣x）且方程f（x）=2x有兩個相等實數(shù)根 （Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)m，n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[4m，4n]，如果存在，求出符合條件的所有m，n的值，如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標平面內(nèi)，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是ρ=4sinθ，直線l的參數(shù)方程是 （t為參數(shù)）．
（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）求曲線C上的點到直線l的距離的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C：y2=4x焦點為F，點D為其準線與x軸的交點，過點F的直線l與拋物線相交于A，B兩點，則△DAB的面積S的取值范圍為（ ）
A.[5，+∞）
B.[2，+∞）
C.[4，+∞）
D.[2，4]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】當今信息時代，眾多高中生也配上了手機．某校為研究經(jīng)常使用手機是否對學習成績有影響，隨機抽取高三年級50名理科生的一次數(shù)學周練成績，并制成下面的2×2列聯(lián)表：

及格

不及格

合計

很少使用手機

20

6

26

經(jīng)常使用手機

10

14

24

合計

30

20

50


（1）判斷是否有97.5%的把握認為經(jīng)常使用手機對學習成績有影響？
（2）從這50人中，選取一名很少使用手機的同學記為甲和一名經(jīng)常使用手機的同學記為乙，解一道數(shù)學題，甲、乙獨立解出此題的概率分別為P1 ， P2 ， 且P2=0.5，若|P1﹣P2|≥0.4，則此二人適合結(jié)為學習上互幫互助的“學習師徒”，記X為兩人中解出此題的人數(shù)，若X的數(shù)學期望E（X）=1.4，問兩人是否適合結(jié)為“學習師徒”？ 參考公式及數(shù)據(jù)： ，其中n=a+b+c+d．

P（K2≥K0）

0.10

0.05

0.025

0.010

K0

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了弘揚民族文化，某校舉行了“我愛國學，傳誦經(jīng)典”考試，并從中隨機抽取了100名考生的成績（得分均為整數(shù)，滿分100分）進行統(tǒng)計制表，其中成績不低于80分的考生被評為優(yōu)秀生，請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù)，用頻率估計概率，回答下列問題．

分組

頻數(shù)

頻率

[50，60）

5

0.05

[60，70）

a

0.20

[70，80）

35

b

[80，90）

25

0.25

[90，100）

15

0.15

合計

100

1.00

（I）求a，b的值及隨機抽取一考生恰為優(yōu)秀生的概率；
（Ⅱ）按頻率分布表中的成績分組，采用分層抽樣抽取20人參加學校的“我愛國學”宣傳活動，求其中優(yōu)秀生的人數(shù)；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）問抽取的優(yōu)秀生中指派2名學生擔任負責人，求至少一人的成績在[90，100]的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著智能手機的發(fā)展，微信越來越成為人們交流的一種方式．某機構(gòu)對使用微信交流的態(tài)度進行調(diào)查，隨機調(diào)查了 50 人，他們年齡的頻數(shù)分布及對使用微信交流贊成人數(shù)如表．

年齡（歲）

[15，25）

[25，35）

[35，45）

[45，55）

[55，65）

[65，75）

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

贊成人數(shù)

5

10

12

7

2

1

（I）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面 2×2 列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為年齡45歲為分界點對使用微信交流的態(tài)度有差異；

年齡不低于45歲的人

年齡低于45歲的人

合計

贊成

不贊成

合計

（Ⅱ）若對年齡在[55，65），[65，75）的被調(diào)查人中隨機抽取兩人進行追蹤調(diào)查，記選中的4人中贊成使用微信交流的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望
參考公式：K2= ，其中n=a+b+c+d
參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）

0.050

0.010

0.001

k0

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)y=f(x)的圖象與g(x)=logax(a＞0，且a≠1)的圖象關(guān)于x軸對稱，且g(x)的圖象過點(9,2)．
（1）求函數(shù)f(x)的解析式；
（2）若f(3x1)＞f(x＋5)成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】四名同學根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結(jié)論：
①y與x負相關(guān)且 ＝2.347x－6.423；②y與x負相關(guān)且 ＝－3.476x＋5.648；
③y與x正相關(guān)且 ＝5.437x＋8.493；④y與x正相關(guān)且 ＝－4.326x－4.578.
其中一定不正確的結(jié)論的序號是( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④

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