Question

已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4
（1）若平面上有兩點A（1，0），B（-1，0），點P是圓C上的動點，求使|AP|²+|BP|²取得最小值時P的坐標；
（2）若Q是x軸上的點，QM，QN分別切圓C于M，N兩點，若|MN|=2

3

，求直線QC的方程．

Answer 1

分析：（1）設出P的坐標為（x，y），利用兩點間的距離公式表示出|AP|²+|BP|²，要使|AP|²+|BP|²取得最小值只要使|OP|最小即可，由P為圓上的點，得到|OP|的最小值為|OC|-r，求出最小值，由原點O坐標與C坐標，確定出直線OC的方程，與圓方程聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解得到x與y的值，即可確定出P的坐標；
（2）設Q（x₀，0），由圓的半徑及弦MN的長，求出∠MCN的度數(shù)，進而確定出∠MCQ的度數(shù)，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出|QC|的長，利用兩點間的距離公式列出關于x₀的方程，求出方程的解得到x₀的值，確定出Q的坐標，即可確定出直線QC的方程．

解答：解：（1）設P（x，y），由點A（1，0），B（-1，0），
得到|AP|²+|BP|²=（x-1）²+y²+（x+1）²+y²=2（x²+y²）+2=2|OP|²+2，
∵P為圓上的點，
∴|OP|_min=|OC|-r=

32+42

-2=5-2=3，
∴（|AP|²+|BP|²）_min=2×3²+2=20，
此時直線OC：y=

4

3

x，
聯(lián)立得：

y= 4 3 x (x-3)2+(y-4)2=4

，
解得：

x= 9 5 y= 12 5

或

x= 21 5 ＞3 y= 28 5

（舍去），
∴點P的坐標為(

9

5

，

12

5

)；
（2）設Q（x₀，0），
∵圓C的半徑r=2，|MN|=2

3

，
∴∠MCN=

2π

3

，
又△QCN≌△QCM，∠MCQ=

π

3

，∠CMQ=

π

2

，|CM|=2，
∴|QC|=4，即（x₀-3）²+（0-4）²=16，
解得：x₀=3，
則所求直線QC的方程為x=3．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：兩點間的距離公式，垂徑定理，銳角三角函數(shù)定義，以及含30度直角三角形的性質(zhì)，是一道綜合性較強的試題．