【題目】已知函數(shù),.

(1)若曲線(xiàn)處的切線(xiàn)方程為,求的值;

(2)在(1)的條件下,求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

(3)若不等式對(duì)任意都成立,求a的取值范圍.

【答案】(1)0;(2)兩個(gè);(3).

【解析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,結(jié)合切線(xiàn)方程可以求出的值,最后計(jì)算即可;

(2)(1)求出函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)零點(diǎn)存在原理,可以判斷出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

(3)設(shè),對(duì)它進(jìn)行求導(dǎo),根據(jù)的不同取值,分類(lèi)討論判斷出函數(shù)的單調(diào)調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的最值情況求出a的取值范圍.

(1),

由題意,,,解得,,,所以.

(2)由(1)知,,

,得,

且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,

所以函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>,,,函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條不間斷的曲線(xiàn),由零點(diǎn)存在性定理,

所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

(3)設(shè),即,

當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)單調(diào)遞減,

所以最小值為,不合題意;

當(dāng)時(shí),,

,得.

,即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減;

所以最小值為,只需,即,

所以符合;

,即時(shí),函數(shù)上單調(diào)減,在上單調(diào)增,

所以的最小值為,

所以符合.

綜上,a的取值范圍是.

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