【題目】已知橢圓:的右焦點為,過點的直線(不與軸重合)與橢圓相交于,兩點,直線:與軸相交于點,過點作,垂足為D.
(1)求四邊形(為坐標(biāo)原點)面積的取值范圍;
(2)證明直線過定點,并求出點的坐標(biāo).
【答案】(1);(2)證明見解析,
【解析】
(1)由題意設(shè)直線AB的方程,代入橢圓整理得縱坐標(biāo)之和與之積,將四邊形的面積分成2個三角形,根據(jù)底相同,列出關(guān)于面積的函數(shù)式,再結(jié)合均值不等式可得面積的取值范圍;
(2)由(1)得B,D的坐標(biāo),設(shè)直線BD 的方程,令縱坐標(biāo)為零得橫坐標(biāo)是定值,即直線BD過定點.
(1)由題F(1,0),設(shè)直線AB:,
聯(lián)立,消去x,得,
因為,,
則
所以四邊形OAHB的面積,
令
因為(當(dāng)且僅當(dāng)t=1即m=0時取等號),所以,
所以四邊形OAHB的面積取值范圍為;
(2),所以直線BD的斜率,所以直線BD的方程為,
令y=0,可得①
由(1)可得
化簡①可得
則直線BD過定點.
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【題目】已知橢圓:的左右焦點分別為,,左頂點為,點在橢圓上,且的面積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過原點且與軸不重合的直線交橢圓于,兩點,直線分別與軸交于點,,.求證:以為直徑的圓恒過交點,,并求出面積的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)若曲線在處的切線方程為,求的值;
(2)在(1)的條件下,求函數(shù)零點的個數(shù);
(3)若不等式對任意都成立,求a的取值范圍.
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【題目】如圖,在邊長為的正方形中,線段BC的端點分別在邊、上滑動,且,現(xiàn)將,分別沿AB,AC折起使點重合,重合后記為點,得到三被錐.現(xiàn)有以下結(jié)論:
①平面;
②當(dāng)分別為、的中點時,三棱錐的外接球的表面積為;
③的取值范圍為;
④三棱錐體積的最大值為.
則正確的結(jié)論的個數(shù)為( )
A.B.C.D.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線經(jīng)過點,其傾斜角為,以原點為極點,以軸非負(fù)半軸為極軸,與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位,建立極坐標(biāo)系,設(shè)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線有公共點,求的取值范圍.
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【題目】以直角坐標(biāo)系的原點為極點O,軸正半軸為極軸,已知點P的直角坐標(biāo)為(1,-5),點C的極坐標(biāo)為,若直線l經(jīng)過點P,且傾斜角為,圓C的半徑為4.
(1).求直線l的參數(shù)方程及圓C的極坐標(biāo)方程;
(2).試判斷直線l與圓C有位置關(guān)系.
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【題目】已知函數(shù)(,)的周期為,圖象的一個對稱中心為將函數(shù)圖象上的所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將所有圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象.
(1)求函數(shù)與的解析式;
(2)當(dāng),求實數(shù)與正整數(shù),使在恰有2019個零點.
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