Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面，已知，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）若F在線段上，滿足平面，求的值；

（3）若三角形是正三角形，邊長(zhǎng)為2，求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）等腰中，證出中線．由平面，得，再利用線面垂直判定定理，即可證出平面，則可得出；

（2）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)、．利用線面平行的性質(zhì)定理，證出．而為的中位線，證出，利用相似三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，即可算出的值．

（3）過(guò)點(diǎn)作交的中點(diǎn)，證出是等腰三角形，得出，則二面角為，可求出，即為答案.

（1）因?yàn)?/span>平面，平面，所以，

又因?yàn)?/span>，是的中點(diǎn)，所以，

而、是平面內(nèi)的相交直線，所以平面，

而平面，所以.

（2）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)、

因?yàn)?/span>平面，平面，平面平面，

所以，

已知、分別是、的中點(diǎn)，則為的中位線，

因此，，可得，

所以，即的值為．

（3）因?yàn)?/span>是正三角形，邊長(zhǎng)為2，則，

過(guò)點(diǎn)作交的中點(diǎn)，，

又因?yàn)?/span>平面，所以，

則且，

所以，即是等腰三角形，

連接，有，

所以二面角為，

又因?yàn)?/span>，所以在中，

，

所以二面角的正切值為.