Question

【題目】公元2222年，有一種高危傳染病在全球范圍內(nèi)蔓延，被感染者的潛伏期可以長達10年，期間會有約0.05%的概率傳染給他人，一旦發(fā)病三天內(nèi)即死亡，某城市總人口約200萬人，專家分析其中約有1000名傳染者，為了防止疾病繼續(xù)擴散，疾病預防控制中心現(xiàn)決定對全市人口進行血液檢測以篩選出被感染者，由于檢測試劑十分昂貴且數(shù)量有限，需要將血樣混合后一起檢測以節(jié)約試劑，已知感染者的檢測結果為陽性，末被感染者為陰性，另外檢測結果為陽性的血樣與檢測結果為陰性的血樣混合后檢測結果為陽性，同一檢測結果的血樣混合后結果不發(fā)生改變.

（1）若對全市人口進行平均分組，同一分組的血樣將被混合到一起檢測，若發(fā)現(xiàn)結果為陽性， 則再在該分組內(nèi)逐個檢測排査，設每個組個人，那么最壞情況下，需要進行多少次檢測可以找到所有的被感染者？在當前方案下，若要使檢測的次數(shù)盡可能少，每個分組的最優(yōu)人數(shù)？

（2）在（1）的檢測方案中，對于檢測結果為陽性的組來取逐一檢測排査的方法并不是很好， 或可將這些組的血樣再進行一次分組混合血樣檢測，然后再進行逐一排査，仍然考慮最壞的情況，請問兩次要如何分組，使檢測總次數(shù)盡可能少？

（3）在（2）的檢測方案中，進行了兩次分組混合血樣檢測，仍然考慮最壞情況，若再進行若干次分組混合血樣檢測，是否會使檢測次數(shù)更少？請給出最優(yōu)的檢測方案.

Answer 1

【答案】（1） 次，45人；（2）第一次每組159人，第二次每組13人；（3）見解析

【解析】

(1)根據(jù)最壞的情況是1000名被感染者分布在其中1000組里,可得檢測總次數(shù),再用基本不等式可得;

(2)設第一次每個組人,第二次每個組人,可得檢測總次數(shù),再用三元基本不等式,結合整數(shù)解可得;

(3)設第次分組中,每組人數(shù)為,則可得檢測總次數(shù),然后運用元基本不等式,結合,可得的最小值,進而得到所求結果.

(1)200萬人平均分組,每組人,總共分組,每組檢測一次,共需檢測次,最壞的情況是1000名被感染者分布在其中1000組里,每組一人,然后在這1000組里逐個排查,每組需檢測次,共需檢測1000次,所以找到所有的被感染者共需檢測次,

由,

當且僅當,所以 ,所以時等號成立.

由于為正整數(shù),

所以當時,,

當時,,

因為,

所以要使檢測總次數(shù)盡可能少,每個分組的最優(yōu)人數(shù)為45人.

(2)設第一次每個組人,分組;第二次每個組人,分組

第一次需檢測次,由(1)的思路知,第二次共需檢測次,

所以兩次檢測的總次數(shù)為,

因為

,

當且僅當,

即, ,時等號成立,

因為,,且為正整數(shù),

且,,

所以,時兩次檢測的總次數(shù)盡可能少,

則第一次每個組159人,第二次每個組13人,可使檢測總次數(shù)盡可能少.

(3)假設進行次這樣的分組檢測,可以達到檢測次數(shù)更少,

設第次分組中,每組人數(shù)為,

則總共檢測次數(shù)為,

因為

,

當且僅當,時等號成立,

所以,

所以,

所以,

所以,

當時,,

因為,且為正整數(shù),

所以可取,即這樣進行了18次檢驗可得到總次數(shù)更小.