【題目】遞增數(shù)列1，3，4，9，10，12，13，…由一些正整數(shù)組成，它們要么是3的冪要么是若干個不同的3的冪的和.求第2014項的值.

【答案】88329

【解析】

記此數(shù)列為.則.

用二進(jìn)制表示項的序號n，三進(jìn)制表示項，

，

，

，

，

，

，

，

.

由題意，知的三進(jìn)制表示各位僅可取0、1兩個值且單調(diào)遞增，由此可猜測當(dāng)時，.

接下來用數(shù)學(xué)歸納法證明.

假設(shè)當(dāng)時，命題成立.

則當(dāng)時，其中，，必有整數(shù)，使且.

故.

于是，.

由假設(shè)得，它是若干不同的3的冪之和且小于的最大值.

由單調(diào)遞增知

，

其中，.

則，

且仍為中某一項（當(dāng)然）.

于是，即

.

故 .

另一方面，，

當(dāng)然，可表示為若干個互不相同的3的冪之和，故存在，使.

從而，.

而，于是，，即.

因此，.

這導(dǎo)致.

故當(dāng)時，命題仍成立.

因為，所以，

.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】[選修4-5：不等式選講]
已知函數(shù)f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．
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（Ⅱ）若f（x）的最小值為n，正數(shù)a，b滿足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．

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【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx﹣x+ ，其中a＞0
（Ⅰ）若f（x）在（2，+∞）上存在極值點，求a的取值范圍；
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A.10步、50步
B.20步、60步
C.30步、70步
D.40步、80步

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【題目】已知函數(shù)f（x）=e2x﹣ax2+bx﹣1，其中a，b∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)，若f（1）=0，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f′（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個零點，則a的取值范圍是（ ）
A.（e2﹣3，e2+1）
B.（e2﹣3，+∞）
C.（﹣∞，2e2+2）
D.（2e2﹣6，2e2+2）

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【題目】已知函數(shù)，其中

（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的值域；

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【題目】已知函數(shù)f（x）=mln（x+1），g（x）= （x＞﹣1）．
（Ⅰ）討論函數(shù)F（x）=f（x）﹣g（x）在（﹣1，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若y=f（x）與y=g（x）的圖象有且僅有一條公切線，試求實數(shù)m的值．

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【題目】選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|a﹣x|（a∈R）
（Ⅰ）當(dāng)a= 時，求使不等式f（2x﹣ ）＞2f（x+2）+2成立的x的集合A；
（Ⅱ）設(shè)x0∈A，證明f（x0x）≥x0f（x）+f（ax0）．

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