【題目】[選修4-5:不等式選講]
已知函數(shù)f(x)=x+1+|3﹣x|,x≥﹣1.
(I)求不等式f(x)≤6的解集;
(Ⅱ)若f(x)的最小值為n,正數(shù)a,b滿足2nab=a+2b,求2a+b的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=x+1+|3﹣x|,x≥﹣1. 若f(x)≤6,則有 或 ,
解可得﹣1≤x≤4,
故原不等式的解集為{x|﹣1≤x≤4};
(Ⅱ)函數(shù)f(x)=x+1+|3﹣x|= ,
分析可得f(x)的最小值為4,即n=4;
則正數(shù)a,b滿足8ab=a+2b,即 =8,
2a+b= ( )(2a+b)= ( +5)≥ (5+2 )= ;
即2a+b的最小值為 .
【解析】(Ⅰ)根據(jù)題意,由絕對(duì)值的性質(zhì)可以將f(x)≤6轉(zhuǎn)化可得 或 ,解可得x的范圍,即可得答案;(Ⅱ)根據(jù)題意,由函數(shù)f(x)的解析式分析可得f(x)的最小值為4,即n=4;進(jìn)而可得正數(shù)a,b滿足8ab=a+2b,即 =8,將2a+b變形可得2a+b= ( +5),由基本不等式的性質(zhì)可得2a+b的最小值,即可得答案.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握含絕對(duì)值不等式的解法:定義法、平方法、同解變形法,其同解定理有;規(guī)律:關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4-5:不等式選講]
已知函數(shù)f(x)=|x﹣ |+|x+2a|(a∈R,且a≠0)
(Ⅰ)當(dāng)a=﹣1時(shí),求不等式f(x)≥5的解集;
(Ⅱ)證明:f(x)≥2 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn),△ABF1的周長(zhǎng)為16,△AF1F2的周長(zhǎng)為12.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率;
(2)若直線l與橢圓E交于C,D兩點(diǎn),且P(2,2)是線段CD的中點(diǎn),求直線l的一般方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓的方程為,圓與直線相交于兩點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則實(shí)數(shù)的值為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xln(x+1)+( ﹣a)x+2﹣a,a∈R.
(I)當(dāng)x>0時(shí),求函數(shù)g(x)=f(x)+ln(x+1)+ x的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)a∈Z時(shí),若存在x≥0,使不等式f(x)<0成立,求a的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C經(jīng)過原點(diǎn)O(0,0)且與直線y=2x﹣8相切于點(diǎn)P(4,0).
(1)求圓C的方程;
(2)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)(4, 5),且與圓C相交于M,N兩點(diǎn),若|MN|=2,求出直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4-5:不等式選講]
已知函數(shù)f(x)=|x+b2|﹣|﹣x+1|,g(x)=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|,其中a,b,c均為正實(shí)數(shù),且ab+bc+ac=1.
(Ⅰ)當(dāng)b=1時(shí),求不等式f(x)≥1的解集;
(Ⅱ)當(dāng)x∈R時(shí),求證f(x)≤g(x).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】遞增數(shù)列1,3,4,9,10,12,13,…由一些正整數(shù)組成,它們要么是3的冪要么是若干個(gè)不同的3的冪的和.求第2014項(xiàng)的值.
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