Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=e2x﹣ax2+bx﹣1，其中a，b∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若f（1）=0，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f′（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A.（e2﹣3，e2+1）
B.（e2﹣3，+∞）
C.（﹣∞，2e2+2）
D.（2e2﹣6，2e2+2）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（1）=0，∴e2﹣a﹣b﹣1=0，即b=e2﹣a﹣1， ∴f（x）=e2x﹣ax2+（e2﹣a﹣1）x﹣1，
∴f′（x）=2e2x﹣2ax+e2﹣a﹣1，
令f′（x）=0得2e2x=2ax+a+1﹣e2 ，
∵函數(shù)f′（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴y=2e2x與y=2ax+a+1﹣e2的函數(shù)圖象在（0，1）上有兩個(gè)交點(diǎn)，
作出y=2e2x與y=2ax+a+1﹣e2的函數(shù)圖象，如圖所示：

當(dāng)a+1﹣e2≥2即a≥e2+1時(shí)，直線y=2ax與y=2e2x最多只有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；
∴a+1﹣e2＜2，即a＜e2+1，
排除B，C，D．
故選A．
利用f（1）=0得出a，b的關(guān)系，根據(jù)f′（x）=0有兩解可知y=2e2x與y=2ax+a+1﹣e2的函數(shù)圖象在（0，1）上有兩個(gè)交點(diǎn)，做出兩函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷a的范圍．