【題目】已知函數(shù).

（1）若在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值；

（2）若，求證：.

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立問題，通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值，進(jìn)而得到結(jié)果；

（2）將問題轉(zhuǎn)化為的證明；利用單調(diào)遞增和零點(diǎn)存在定理可確定存在，使得，從而得到；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)可確定單調(diào)性，進(jìn)而得到，化簡后，結(jié)合基本不等式可證得結(jié)論.

由函數(shù)解析式可知，定義域?yàn)?/span>.

（1），

在上是減函數(shù)，在上恒成立，即恒成立

令，則，在上單調(diào)遞增，

，，解得：，

的最大值為.

（2）由（1）知：，則，

在上單調(diào)遞增.

，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，

由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使得，即，

.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號）.

當(dāng)時(shí)，.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校擬從甲、乙兩名同學(xué)中選一人參加疫情知識問答競賽，于是抽取了甲、乙兩人最近同時(shí)參加校內(nèi)競賽的十次成績，將統(tǒng)計(jì)情況繪制成如圖所示的折線圖.根據(jù)該折線圖，下面結(jié)論正確的是（ ）

A.甲、乙成績的中位數(shù)均為7

B.乙的成績的平均分為6.8

C.甲從第四次到第六次成績的下降速率要大于乙從第四次到第五次的下降速率

D.甲的成績的方差小于乙的成績的方差

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，、.

（1）若，且函數(shù)的圖象是函數(shù)圖象的一條切線，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若對任意實(shí)數(shù)，函數(shù)在上總有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若在處的切線的方程為，求此時(shí)的最值；

（2）若對任意，，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為

（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn).求

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為，圓經(jīng)過橢圓的短軸端點(diǎn)．

求橢圓的方程；

過橢圓的右焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別與橢圓相交于，和，四點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}滿足：a1=0，（n∈N*），前n項(xiàng)和為Sn (參考數(shù)據(jù)： ln2≈0.693，ln3≈1.099)，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（ ）

A.是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列B.

C.D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計(jì)劃改建十個(gè)實(shí)驗(yàn)室，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用分為裝修費(fèi)和設(shè)備費(fèi)，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)都一樣，設(shè)備費(fèi)從第一到第十實(shí)驗(yàn)室依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知第五實(shí)驗(yàn)室比第二實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高42萬元，第七實(shí)驗(yàn)室比第四實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高168萬元，并要求每個(gè)實(shí)驗(yàn)室改建費(fèi)用不能超過1700萬元.則該研究所改建這十個(gè)實(shí)驗(yàn)室投入的總費(fèi)用最多需要( )

A.3233萬元B.4706萬元C.4709萬元D.4808萬元

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司準(zhǔn)備設(shè)計(jì)一個(gè)精美的心形巧克力盒子，它是由半圓、半圓和正方形ABCD組成的，且．設(shè)計(jì)人員想在心形盒子表面上設(shè)計(jì)一個(gè)矩形的標(biāo)簽EFGH，標(biāo)簽的其中兩個(gè)頂點(diǎn)E，F在AM上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)G，H在CN上（M，N分別是AB，CB的中點(diǎn)）．設(shè)EF的中點(diǎn)為P，，矩形EFGH的面積為．

（1）寫出S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式

（2）當(dāng)為何值時(shí)矩形EFGH的面積最大？

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案