【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,Q是AD的中點.

(1)若PA=PD,求證:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若平面APD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,在線段PC上是否存在點M,使二面角M﹣BQ﹣C的大小為60°.若存在,試確定點M的位置,若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)證明:∵PA=PD,Q為AD的中點,∴PQ⊥AD,

又∵底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,∴BQ⊥AD,

又PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PQB,

又∵AD平面PAD,

∴平面PQB⊥平面PAD


(2)解:∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PQ⊥AD,

∴PQ⊥平面ABCD,

以Q為坐標原點,分別以QA,QB,QP為x,y,z軸,

建立空間直角坐標系,如圖

則Q(0,0,0),P(0,0, ),B(0, ,0),C(﹣2, ,0)

設(shè) ,0<λ<1,則M(﹣2λ, , ),

平面CBQ的一個法向量 =(0,0,1),

設(shè)平面MBQ的法向量為 =(x,y,z),

,得 =( ,0, ),

∵二面角M﹣BQ﹣C的大小為60°,

∴cos60°=|cos< >|=| |= ,

解得 ,∴ = ,

∴存在點M為線段PC靠近P的三等分點滿足題意.


【解析】(1)由已知得PQ⊥AD,BQ⊥AD,由此能證明平面PQB⊥平面PAD.(2)以Q為坐標原點,分別以QA,QB,QP為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出存在點M為線段PC靠近P的三等分點滿足題意.
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識點,需要掌握一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直才能正確解答此題.

練習冊系列答案
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【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=3.D是線段BC的中點.

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【題目】某班主任對全班50名學生的學習積極性和對待班級工作的態(tài)度進行了調(diào)查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:

分類

積極參加

班級工作

不太主動參

加班級工作

總計

學習積極性高

18

7

25

學習積極性一般

6

19

25

總計

24

26

50

(1)如果隨機抽查這個班的一名學生,那么抽到積極參加班級工作的學生的概率是多少?抽到不太主動參加班級工作且學習積極性一般的學生的概率是多少?

(2)試運用獨立性檢驗的思想方法分析:學生的學習積極性與對待班級工作的態(tài)度是否有關(guān),并說明理由.

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【題目】已知函數(shù),且時,總有成立.

a的值;

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上的值域.

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【題目】如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體外接球的表面積為

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【題目】某電視臺舉辦青年歌手大獎賽,有十名評委打分,已知甲、乙兩名選手演唱后的得分如莖葉圖如圖所示.

(1)從統(tǒng)計學的角度,你認為甲與乙比較,演唱水平怎樣?

(2)現(xiàn)場有三名點評嘉賓A,B,C,每位選手可以從中選兩位接受其指導,若選手選每位點評嘉賓的可能性相等,求甲、乙兩名選手選擇的點評嘉賓恰有一人重復的概率.

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【題目】某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進行了分析研究,分別記錄了2016年12月1日至12月5日每天的晝夜溫差以及實驗室100顆種子中的發(fā)芽數(shù),得到的數(shù)據(jù)如下表所示:

日期

12月1日

12月2日

12月3日

12月4日

12月5日

溫差x/℃

10

11

13

12

8

發(fā)芽數(shù)y/顆

23

25

30

26

16

該農(nóng)科所確定的研究方案是:先從這五組數(shù)據(jù)中選取兩組,用剩下的三組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再對被選取的兩組數(shù)據(jù)進行檢驗.

(1)求選取的兩組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的兩天數(shù)據(jù)的概率.

(2)若選取的是12月1日和12月5日的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程.

(3)由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2,則認為得到的線性回歸方程是可靠的,據(jù)此說明(2)中所得線性回歸方程是否可靠?并估計當溫差為9 ℃時,100顆種子中的發(fā)芽數(shù).

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【題目】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗(噸)標準煤的幾組對照數(shù)據(jù):

3

4

5

6

2.5

3

4

4.5

(1)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;

(2)已知該廠技術(shù)改造前100噸甲產(chǎn)品能耗為90噸標準煤,試根據(jù)(1)求出的線性回歸方程,預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸標準煤?

(參考:

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A.
B.
C.
D.

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