Question

設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足＝2－，＝1，2，3，…．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足＝1，且＝＋，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．

Answer 1

（1）＝( n∈)（2）＝ (＝1，2，3，…)
（3）8－

解析試題分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c5/f/1nsbf4.png" style="vertical-align:middle;" />＝1時(shí)，＋＝＋＝2，所以＝1．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2c/0/1zdhs3.png" style="vertical-align:middle;" />＝2－，即＋＝2，所以＋＝2．
兩式相減：－＋－＝0，即－＋＝0，故有＝．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/39/7/1lisi2.png" style="vertical-align:middle;" />≠0，所以＝( n∈)．
所以數(shù)列是首項(xiàng)＝1，公比為的等比數(shù)列，
所以＝( ∈)．                                           ……5分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7d/3/02cih.png" style="vertical-align:middle;" />＝＋( n＝1，2，3，…)，所以－＝．從而有
＝1，＝，＝，…，＝( ＝2，3，…)．
將這－1個(gè)等式相加，得
－＝1＋＋＋…＋＝＝2－．(＝2，3，…)．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/59/7/0upnu.png" style="vertical-align:middle;" />＝1，所以＝3－( ＝2，3，…)．
經(jīng)檢驗(yàn)，對(duì)=1也成立，
故＝3－ = (＝1，2，3，…)．                       ……10分
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/40/0/o66jh1.png" style="vertical-align:middle;" />＝，
所以＝．  ①