Question

下列關于圓錐曲線的命題：其中真命題的序號

②③

．（寫出所有真命題的序號）．
①設A，B為兩個定點，若|PA|-|PB|=2，則動點P的軌跡為雙曲線；
②設A，B為兩個定點，若動點P滿足|PA|=10-|PB|，且|AB|=6，則|PA|的最大值為8；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓x2+

y2

35

=1有相同的焦點．

Answer 1

分析：①利用雙曲線的定義判斷．②利用橢圓的定義判斷．③利用橢圓和雙曲線的離心率的取值范圍判斷．④利用雙曲線和橢圓的方程和定義判斷．

解答：解：①根據雙曲線的定義可知，滿足|PA|-|PB|=2的動點P不一定是雙曲線，這與AB的距離有關系，所以①錯誤．
②由|PA|=10-|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以動點P的軌跡為以A，B為焦點的圖象，且2a=10，2c=6，所以a=5，c=3，根據橢圓的性質可知，|PA|的最大值為a+c=5+3=8，所以②正確．
③方程2x²-5x+2=0的兩個根為x=2或x=

1

2

，所以方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作橢圓和雙曲線的離心率，所以③正確．
④由雙曲線的方程可知，雙曲線的焦點在x軸上，而橢圓的焦點在y軸上，所以它們的焦點不可能相同，所以④錯誤．
故正確的命題為②③．
故答案為：②③．

點評：本題主要考查圓錐曲線的定義和性質，要求熟練掌握圓錐曲線的定義，方程和性質．