Question

（2013•朝陽區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA=2，F(xiàn)，G，H分別為PB，EB，PC的中點．
（Ⅰ）求證：FG∥平面PED；
（Ⅱ）求平面FGH與平面PBC所成銳二面角的大�。�
（Ⅲ）在線段PC上是否存在一點M，使直線FM與直線PA所成的角為60°？若存在，求出線段PM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三角形的中位線定理得到線線平行，然后直接利用線面平行的判定定理得到線面平行；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)兩個平面的法向量所成的角與二面角相等或互補(bǔ)，由兩個平面法向量所成的角求解二面角的大��；
（Ⅲ）假設(shè)存在點M，由共線向量基本定理得到M點的坐標(biāo)，其中含有一個未知量，然后利用直線FM與直線PA所成的角為
60°轉(zhuǎn)化為兩向量所成的角為60°，由兩向量的夾角公式求出M點的坐標(biāo)，得到的M點的坐標(biāo)符合題意，說明假設(shè)成立，最后得到結(jié)論．

解答：（Ⅰ）證明：因為F，G分別為PB，BE的中點，所以FG∥PE．
又FG?平面PED，PE?平面PED，所以FG∥平面PED．
（Ⅱ）解：因為EA⊥平面ABCD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥CD．
又因為四邊形ABCD是正方形，所以AD⊥CD．
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

因為AD=PD=2EA，所以D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），
C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1）．
因為F，G，H分別為PB，EB，PC的中點，所以F（1，1，1），G（2，1，

1

2

），H（0，1，1）．
所以

GF

=(-1，0，

1

2

)，

GH

=(-2，0，

1

2

)，
設(shè)

n1

=(x1，y1，z1)為平面FGH的一個法向量，則

n1 • GF =0 n1 • GH =0

，即

-x1+ 1 2 z1=0 -2x1+ 1 2 z1=0

，
再令y₁=1，得

n1

=(0，1，0)．

PB

=(2，2，-2)，

PC

=(0，2，-2)，
設(shè)

n2

=(x2，y2，z2)為平面PBC的一個法向量，則

n2 • PB =0 n2 • PC =0

，即

2x2+2y2-2z2=0 2y2-2z2=0

，
令z₂=1，得

n2

=(0，1，1)．
所以|cos＜

n1

，

n2

＞|=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

|(0，1，0)•(0，1，1)|

1× 2

=

2

2

．
所以平面FGH與平面PBC所成銳二面角的大小為

π

4

．
（Ⅲ）在線段PC上存在點M，使直線FM與直線PC所成角為60°
證明：假設(shè)在線段PC上存在點M，使直線FM與直線PC所成角為60°．
依題意可設(shè)

PM

=λ

PC

，其中0≤λ≤1．
由

PC

=(0，2，-2)，則

PM

=(0，2λ，-2λ)．
又因為

FM

=

FP

+

PM

，

FP

=(-1，-1，1)，
所以

FM

=(-1，2λ-1，1-2λ)．
又直線FM與直線PA成60°角，

PA

(2，0，-2)，
所以|cos＜

FM

，

PA

＞|=

1

2

，即

1

2

=

|-2-2+4λ|

2 2 • 1+2(2λ-1)2

，解得：λ=

5

8

．
所以

PM

=(0，

5

4

，-

5

4

)，|

PM

|=

0+2×( 5 4 )2

=

5 2

4

．
所以，在線段PC上存在點M，使直線FM與直線PC所成角為60°，此時PM的長為

5 2

4

．

點評：本題考查了線面平行的判定，考查了線線角和面面角，訓(xùn)練了利用平面法向量求解二面角的大小，解答此類問題的關(guān)鍵是正確建系，準(zhǔn)確求用到的點的坐標(biāo)，此題是中檔題．