Question

【題目】設(shè)圓的圓心為，直線過點(diǎn)且與軸不重合，交圓于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn).

（1）求的值；

（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，試問在橢圓上是否存在一定點(diǎn)，使得，，成等差數(shù)列（其中，，分別指直線，，的斜率）.若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)見證明

【解析】

（1）由且，可得，進(jìn)而得到

，再由半徑，即可求解；

（2）由（1）知得的方程，設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和，，成等差數(shù)列，求得

，由對(duì)任意的該等式恒成立，求得，即可得到答案.

（1）因?yàn)閳A的圓心為，所以且，

所以，所以，

所以，

又因?yàn)閳A的半徑為8，即，

所以.

（2）由（1）知，曲線是以，為焦點(diǎn)的橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，

所以曲線的方程為，

設(shè)直線的方程為，

代入橢圓化簡(jiǎn)得，

設(shè)，，，則，，

所以

，

因?yàn)?/span>，，成等差數(shù)列，所以，

因?yàn)?/span>，所以，

化簡(jiǎn)得，

對(duì)任意的該等式恒成立，所以，

所以存在點(diǎn)，使得，，成等差數(shù)列.