Question

【題目】已知圓柱底面半徑為1，高為，ABCD是圓柱的一個(gè)軸截面，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面到達(dá)點(diǎn)D，其距離最短時(shí)在側(cè)面留下的曲線如圖所示．將軸截面ABCD繞著軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，邊與曲線相交于點(diǎn)P．

(Ⅰ)求曲線長(zhǎng)度；

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到平面APB的距離；

(Ⅲ)證明：不存在，使得二面角的大小為．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 不存在

【解析】試題分析：(Ⅰ)在側(cè)面展開圖中根據(jù)幾何性質(zhì)求解；(Ⅱ) 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABP的一個(gè)法向量及向量 ，利用空間向量點(diǎn)到直線距離公式求解；(Ⅲ)假設(shè)存在滿足要求的，在空間坐標(biāo)系中求出法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，列出關(guān)于的方程，看是否有解即可.

試題解析：(Ⅰ) 在側(cè)面展開圖中為BD的長(zhǎng)，其中AB = AD = π，

∴的長(zhǎng)為;

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則有、、、，

、、

設(shè)平面ABP的法向量為，則，

取z = 2得，所以點(diǎn)C1到平面PAB的距離為；

注：本題也可以使用等積法求解．

(Ⅲ) 假設(shè)存在滿足要求的，

在（II）的坐標(biāo)系中， ，

，

設(shè)平面ABP的法向量為，則

，

取x1 = 1得，

又平面ABD的法向量為，

由二面角的大小為，

則 ．

∵，∴時(shí)，均有，與上式矛盾．

所以不存在使得二面角的大小為．