【題目】已知橢圓的離心率為，直線，圓的方程為，直線被圓截得的弦長與橢圓的短軸長相等，橢圓的左頂點為，上頂點為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知經過點且斜率為直線與橢圓有兩個不同的交點和，請問是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.

【答案】（1）（2）不存在；詳見解析

【解析】

（1）求得圓心到直線的距離，利用直線和圓相交所得弦長公式列方程，解方程求得的值，結合橢圓離心率以及，求得的值，進而求得橢圓離心率.

（2）設出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，寫出根于系數(shù)關系以及判別式，利用與共線以及向量共線的坐標表示列方程，由此判斷出不存在符合題意的常數(shù).

（1）圓心到直線的距離為，

直線被圓截得的弦長，.

由橢圓離心率為，結合可得，.即橢圓的方程為：.

（2）設直線的方程為，

代入橢圓方程，整理，得，①

因為直線與橢圓有兩個不同的交點和等價于，

解得.

設，，則，

由①得，②

又，③

因為，所以.

所以與共線等價于.

將②③代入上式，解得，（舍）.

因為不滿足，

所以不存在常數(shù)，使得向量與共線.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓:上任意一點到兩個焦點的距離和為4，且離心率為．

（1）求橢圓的方程．

（2）過作互相垂直的兩條直線分別與橢圓交于，和，，設中點為，中點為，試探究直線是否過定點？若是，求出該定點；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某工廠的,,三個不同車間生產同一產品的數(shù)量(單位:件)如下表所示.質檢人員用分層抽樣的方法從這些產品中共抽取6件樣品進行檢測:

車間

數(shù)量

50

150

100

(1)求這6件樣品中來自,,各車間產品的數(shù)量;

(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件進行進一步檢測,求這2件產品來自相同車間的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若拋物線的焦點為，是坐標原點，為拋物線上的一點，向量與軸正方向的夾角為60°，且的面積為.

（1）求拋物線的方程；

（2）若拋物線的準線與軸交于點，點在拋物線上，求當取得最大值時，直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：經過定點，其左右集點分別為，且，過右焦且與坐標軸不垂直的直線l與橢圈交于P，Q兩點.

（1）求橢圓C的方程：

（2）若O為坐標原點，在線段上是否存在點，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】橢圓的焦點為和，過的直線交于兩點，過作與軸垂直的直線，又知點，直線記為，與交于點．設，已知當時，．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求證：無論如何變化，點的橫坐標是定值，并求出這個定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率為.

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若，，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著食品安全問題逐漸引起人們的重視，有機、健康的高端綠色蔬菜越來越受到消費者的歡迎，同時生產—運輸—銷售一體化的直銷供應模式,不僅減少了成本，而且減去了蔬菜的二次污染等問題.

（1）在有機蔬菜的種植過程中，有機肥料使用是必不可少的.根據(jù)統(tǒng)計某種有機蔬菜的產量與有機肥料的用量有關系，每個有機蔬菜大棚產量的增加量（百斤）與使用堆漚肥料（千克）之間對應數(shù)據(jù)如下表

使用堆漚肥料（千克）

2

4

5

6

8

產量的增加量（百斤）

3

4

4

4

5

依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；并根據(jù)所求線性回歸方程，估計如果每個有機蔬菜大棚使用堆漚肥料10千克，則每個有機蔬菜大棚產量增加量是多少百斤?

（2）某大棚蔬菜種植基地將采摘的有機蔬菜以每份三斤稱重并保鮮分裝,以每份10元的價格銷售到生鮮超市.“樂購”生鮮超市以每份15元的價格賣給顧客，如果當天前8小時賣不完，則超市通過促銷以每份5元的價格賣給顧客（根據(jù)經驗，當天能夠把剩余的有機蔬菜都低價處理完畢，且處理完畢后，當天不再進貨）.該生鮮超市統(tǒng)計了100天有機蔬菜在每天的前8小時內的銷售量（單位:份），制成如下表格(注:，且)；

前8小時內的銷售量（單位:份）

15

16

17

18

19

20

21

頻數(shù)

10

x

16

6

15

13

y

若以100天記錄的頻率作為每日前8小時銷售量發(fā)生的概率，該生鮮超市當天銷售有機蔬菜利潤的期望值為決策依據(jù)，當購進17份比購進18份的利潤的期望值大時，求的取值范圍.

附：回歸直線方程為，其中.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C1：x2＝2py（p＞0），圓C2：x2+y2﹣8y+12＝0的圓心M到拋物線C1的準線的距離為，點P是拋物線C1上一點，過點P，M的直線交拋物線C1于另一點Q，且|PM|＝2|MQ|，過點P作圓C2的兩條切線，切點為A、B．

（Ⅰ）求拋物線C1的方程；

（Ⅱ）求直線PQ的方程及的值．

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