【題目】已知函數(shù)g(x)=lnx﹣ax2+(2﹣a)x,a∈R.
(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)=g(x)+(a+1)x2﹣2x,x1 , x2(x1<x2)是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),證明:f′( )<0.
【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)=lnx﹣ax2+(2﹣a)x的定義域?yàn)椋?,+∞),
f′(x)= ﹣2ax+(2﹣a)=﹣ ,
①當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,x∈(0,+∞),
則f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
②當(dāng)a>0時(shí),x∈(0, )時(shí),f′(x)>0,
x∈( ,+∞)時(shí),f′(x)<0,
則f(x)在(0, )上單調(diào)遞增,在( ,+∞)上單調(diào)遞減;
(2)解:由x1,x2(x1<x2)是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),
得f(x1)=lnx1+ ﹣ax1=0,f(x2)=lnx2+ ﹣ax2=0,
兩式相減得a= +x1+x2,
∵f′(x)= +2x﹣a,
∴f′( )= ﹣ ,
故要證明f′( )<0,
只需證明 ﹣ <0,(0<x1<x2),
即證明 >lnx1﹣lnx2,即證明 >ln (*),
令 =t∈(0,1),則h(t)=(1+t)lnt﹣2t+2,
則h′(t)=lnt+ ﹣1,h″(x)= ﹣ <0,
故h′(t)在(0,1)遞減,h′(t)>h′(1)=0,
故h(t)在(0,1)遞增,h(t)<h(1)=0,
故(*)成立,即f′( )<0.
【解析】(1)先求函數(shù)的定義域,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),在定義域內(nèi)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)求出a= +x1+x2 , 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明 >lnx1﹣lnx2 , 即證明 >ln (*),令 =t∈(0,1),則h(t)=(1+t)lnt﹣2t+2,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】正四面體ABCD中,M是棱AD的中點(diǎn),O是點(diǎn)A在底面BCD內(nèi)的射影,則異面直線BM與AO所成角的余弦值為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐A﹣BCED中,AD⊥底面BCED,BD⊥DE,∠DBC=∠BCE═60°,BD=2CE.
(1)若F是AD的中點(diǎn),求證:EF∥平面ABC;
(2)若AD=DE,求BE與平面ACE所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校在一次第二課堂活動(dòng)中,特意設(shè)置了過(guò)關(guān)智力游戲,游戲共五關(guān).規(guī)定第一關(guān)沒(méi)過(guò)者沒(méi)獎(jiǎng)勵(lì),過(guò)n(n∈N*)關(guān)者獎(jiǎng)勵(lì)2n﹣1件小獎(jiǎng)品(獎(jiǎng)品都一樣).如圖是小明在10次過(guò)關(guān)游戲中過(guò)關(guān)數(shù)的條形圖,以此頻率估計(jì)概率.
(Ⅰ)求小明在這十次游戲中所得獎(jiǎng)品數(shù)的均值;
(Ⅱ)規(guī)定過(guò)三關(guān)者才能玩另一個(gè)高級(jí)別的游戲,估計(jì)小明一次游戲后能玩另一個(gè)游戲的概率;
(Ⅲ)已知小明在某四次游戲中所過(guò)關(guān)數(shù)為{2,2,3,4},小聰在某四次游戲中所過(guò)關(guān)數(shù)為{3,3,4,5},現(xiàn)從中各選一次游戲,求小明和小聰所得獎(jiǎng)品總數(shù)超過(guò)10的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C1和雙曲線C2焦點(diǎn)相同,且離心率互為倒數(shù),F(xiàn)1 , F2是它們的公共焦點(diǎn),P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn),若∠F1PF2=60°,則橢圓C1的離心率為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】奇函數(shù)f(x)定義域?yàn)椋ī仸校?)∪(0,π),其導(dǎo)函數(shù)是f′(x).當(dāng)0<x<π時(shí),有f′(x)sinx﹣f(x)cosx<0,則關(guān)于x的不等式f(x)< f( )sinx的解集為( )
A.( ,π)
B.(﹣π,﹣ )∪( ,π)
C.(﹣ ,0)∪(0, )
D.(﹣ ,0)∪( ,π)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】高速公路為人民出行帶來(lái)極大便利,但由于高速上車(chē)速快,一旦出事故往往導(dǎo)致生命或財(cái)產(chǎn)的重大損失,我國(guó)高速公路最高限速120km/h,最低限速60km/h.
(1)當(dāng)駕駛員以120 千米/小時(shí)速度駕車(chē)行駛,駕駛員發(fā)現(xiàn)前方有事故,以原車(chē)速行駛大約需要0.9秒后才能做出緊急剎車(chē),做出緊急剎車(chē)后,車(chē)速依v(t)= ﹣ t(t:秒,v(t):米/秒)規(guī)律變化直到完全停止,求駕駛員從發(fā)現(xiàn)前方事故到車(chē)輛完全停止時(shí),車(chē)輛行駛的距離;(取ln5=1.6)
(2)國(guó)慶期間,高速免小車(chē)通行費(fèi),某人從襄陽(yáng)到曾都自駕游,只需承擔(dān)油費(fèi).已知每小時(shí)油費(fèi)v(元)與車(chē)速有關(guān),w= +40(v:km/h),高速路段必須按國(guó)家規(guī)定限速內(nèi)行駛,假定高速上為勻速行駛,高速上共行駛了S千米,當(dāng)高速上行駛的這S千米油費(fèi)最少時(shí),求速度v應(yīng)為多少km/h?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2016年巴西奧運(yùn)會(huì)的周邊商品有80%左右為“中國(guó)制造”,所有的廠家都是經(jīng)過(guò)層層篩選才能獲此殊榮.甲、乙兩廠生產(chǎn)同一產(chǎn)品,為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量,以確定這一產(chǎn)品最終的供貨商,采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共98件中分別抽取9件和5件,測(cè)量產(chǎn)品中的微量元素的含量(單位:毫克).下表是從乙廠抽取的5件產(chǎn)品的測(cè)量數(shù)據(jù):
編號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
x | 169 | 178 | 166 | 175 | 180 |
y | 75 | 80 | 77 | 70 | 81 |
(1)求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量:
(2)當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x、y滿(mǎn)足:x≥175,且y≥75時(shí),該產(chǎn)品為優(yōu)等品.用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量:
(3)從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中,隨機(jī)抽取2件,求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)集合A={(x,y)|y=x2+2bx+1},B={(x,y)|y=2a(x+b)},且A∩B是單元素集合,若存在a<0,b<0使點(diǎn)P∈{(x,y)|(x﹣a)2+(y﹣b)2≤1},則點(diǎn)P所在的區(qū)域的面積為 .
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