【題目】已知函數.
(1)若,且在上單調遞增,求實數的取值范圍;
(2)是否存在實數,使得函數在上的最小值為1?若存在,求出實數的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)存在實數,的值為.
【解析】
試題分析:(1),由于函數在區(qū)間上單調遞增,所以在區(qū)間上恒成立,即在上恒成立,轉化為在上恒成立,根據函數單調性可知在區(qū)間上單調遞增,所以,因此;(2)假設存在實數使得在上最小值為,那么一定要滿足,由此限定出,又根據第(1)問時,函數在上單調遞增,但是不合題意,所以,令得的增區(qū)間為;令得的減區(qū)間為,于是,化簡整理可得,即,于是設,則上式即為,構造,通過判斷函數的單調性來計算時的值,然后求出的值.
試題解析:(1),
由已知在時恒成立,即恒成立,
分離參數得,右邊,所以正實數的取值范圍為.
(2)假設存在這樣的實數,則在時恒成立,且可以取到等號,故,即,故,解得.
從而這樣的實數必須為正實數,當時,由上面的討論知在上遞增,
,此時不合題意,故這樣的必須滿足,
此時:令得的增區(qū)間為;令得的減區(qū)間為.
故,
整理得,
即,
設,
則上式即為,構造,則等價于,
由于為增函數,為減函數,故為增函數,
觀察知,故等價于,與之對應的,
綜上符合條件的實數是存在的,即.
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【題目】在直角坐標系中,已知曲線(為參數),在以為極點, 軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線,曲線.
(1)求曲線與的交點的直角坐標;
(2)設點, 分別為曲線上的動點,求的最小值.
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【題目】已知函數(為自然對數的底數),,.
(1)求曲線在處的切線方程;
(2)討論函數的極小值;
(3)若對任意的,總存在,使得成立,求實數的取值范圍.
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【題目】根據某電子商務平臺的調查統(tǒng)計顯示,參與調查的1000位上網購物者的年齡情況如圖.
(1)已知、,三個年齡段的上網購物者人數成等差數列,求,的值;
(2)該電子商務平臺將年齡在之間的人群定義為高消費人群,其他的年齡段定義為潛在消費人群,為了鼓勵潛在消費人群的消費,該平臺決定發(fā)放代金券,高消費人群每人發(fā)放50元的代金券,潛在消費人群每人發(fā)放80元的代金券.已經采用分層抽樣的方式從參與調查的1000位上網購物者中抽取了10人,現在要在這10人中隨機抽取3人進行回訪,求此三人獲得代金券總和的分布列與數學期望.
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【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為正方形, 為直角三角形, ,且.
(1)證明:平面平面;
(2)若AB=2AE,求異面直線BE與AC所成角的余弦值.
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【題目】已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,
(1)求a與b的夾角θ; (2)求|a+b|;
(3)若=a, =b,求△ABC的面積.
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