Question

【題目】設(shè)橢圓C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2 ， 上頂點(diǎn)為A，過(guò)A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于Q點(diǎn)，且F1恰好是線段QF2的中點(diǎn)．
（1）若過(guò)A、Q、F2三點(diǎn)的圓恰好與直線3x﹣4y﹣7=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，B是橢圓C的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)R（ ，0）作與x軸不重合的直線l交橢圓C于E、F兩點(diǎn)，直線BE、BF分別交直線x= 于M、N兩點(diǎn)，若直線MR、NR的斜率分別為k1 ， k2 ， 試問(wèn)：k1k2是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知A（0，b），F(xiàn)1是線段QF1的中點(diǎn)，

設(shè)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），則Q（﹣3c，0），

∵∠QAF1=90°，

∴b2=3c2，

由題意Rt△QAF1外接圓圓心為斜邊的QF1中點(diǎn)F1（﹣c，0），半徑等于2c，

由A，Q，F(xiàn)2，三點(diǎn)恰好與直線3x﹣4y﹣7=0相切，

∴F1（﹣c，0）到直線的距離等于半徑2c，

即 =2c，

解得：c=1，b2=3，a2=4，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）

解：設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），

直線PQ的方程為x=my+ ，代入橢圓方程 ，

4（4+3m2）y2+36my﹣21=0，

y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，

由B，E，M，三點(diǎn)共線，可知： = ，即yM= ，

同理可得：yN= ，

∴k1k2= × = = ，

由4（x1+2）（x2+2）=（2my1+7）（2my2+7）=4m2y1y2+14m（y1+y2）+49，

∴k1k2= =﹣ ，

∴k1k2是否為定值﹣

【解析】（1）由題意可知b2=3c2 ， 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得c的值，求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）設(shè)直線PQ方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式，求得M和N點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用斜率公式求得k1 ， k2 ， 利用韋達(dá)定理即可求得k1k2 ．