Question

【題目】已知函數(shù)fn（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn ， 且fn（﹣1）=（﹣1）nn，n∈N* ， 設(shè)函數(shù)g（n）= ，若bn=g（2n+4），n∈N* ， 則數(shù)列{bn}的前n（n≥2）項(xiàng)和Sn等于 ．

Answer 1

【答案】2n+n﹣1
【解析】解：由函數(shù)g（n）= ， 可得bn=g（2n+4）=g（2n﹣1+2）=g（2n﹣2+1）=a ，
由函數(shù)fn（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn ， 且fn（﹣1）=（﹣1）nn，
可得﹣a1+a2﹣a3+…+an（﹣1）n=（﹣1）nn，①
n=1時(shí)，﹣a1=﹣1，可得a1=1；
n≥2時(shí)，﹣a1+a2﹣a3+…+an﹣1（﹣1）n﹣1=（﹣1）n﹣1（n﹣1），②
①﹣②可得an（﹣1）n=（﹣1）nn﹣（﹣1）n﹣1（n﹣1），
化簡可得an=2n﹣1，對(duì)n=1也成立．
則bn=a =2n﹣1+1，
則數(shù)列{bn}的前n（n≥2）項(xiàng)和Sn等于（1+2+4+…+2n﹣1）+n
= +n=2n+n﹣1．
故答案為：2n+n﹣1．
由分段函數(shù)，求得bn=a ，再由函數(shù)fn（x），求得n=1時(shí)，a1=1，將n換為n﹣1，作差可得an=2n﹣1，進(jìn)而得到
bn=2n﹣1+1，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和．