【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=x2+2x.
(1)現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象,如圖所示,請補(bǔ)全函數(shù)f(x)的圖象,并根據(jù)圖象寫出函數(shù)f(x)(x∈R)的遞增區(qū)間;
(2)寫出函數(shù)f(x)(x∈R)的值域;
(3)寫出函數(shù)f(x)(x∈R)的解析式.
【答案】
(1)解:根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,作出函數(shù)在R上的圖象,
結(jié)合圖象可得函數(shù)的增區(qū)間為(﹣1,0)、減區(qū)間為(1,+∞)
(2)解:結(jié)合函數(shù)的圖象可得,當(dāng)x=1,或 x=﹣1時(shí),函數(shù)取得最小值為﹣1,
函數(shù)沒有最大值,故函數(shù)的值域?yàn)閇﹣1,+∞)
(3)解:當(dāng)x>0時(shí),﹣x<0,再根據(jù)x≤0時(shí),f(x)=x2+2x,
可得f(﹣x)=(﹣x)2+2(﹣x)=x2﹣2x.
再根據(jù)函數(shù)f(x)為偶函數(shù),可得f(x)=x2﹣2x.
綜上可得,f(x)=
【解析】(1)根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,作出函數(shù)在R上的圖象,結(jié)合圖象可得函數(shù)的增區(qū).(2)結(jié)合函數(shù)的圖象可得函數(shù)的值域.(3)依據(jù)條件求得當(dāng)x>0時(shí),f(x)的解析式,再依據(jù)函數(shù)的奇偶性得到f(x)在R上的解析式.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)的值域和函數(shù)圖象的作法,掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的.事實(shí)上,如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最。ù螅⿺(shù),這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最。ù螅┲担虼饲蠛瘮(shù)的最值與值域,其實(shí)質(zhì)是相同的;圖象的作法與平移:①據(jù)函數(shù)表達(dá)式,列表、描點(diǎn)、連光滑曲線;②利用熟知函數(shù)的圖象的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換;③利用反函數(shù)的圖象與對稱性描繪函數(shù)圖象即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2x,g(x)=ax+2(a>0),且對任意的x1∈[﹣1,2],都存在x2∈[﹣1,2],使f(x2)=g(x1),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.[3,+∞)
B.(0,3]
C.[ ,3]
D.(0, ]
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【題目】已知命題p:方程 =1表示雙曲線,命題q:x∈(0,+∞),x2﹣mx+4≥0恒成立,若p∨q是真命題,且綈(p∧q)也是真命題,求m的取值范圍.
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【題目】如圖,已知多面體的底面是邊長為2的正方形, 底面, ,且.
(Ⅰ)記線段的中點(diǎn)為,在平面內(nèi)過點(diǎn)作一條直線與平面平行,要求保留作圖痕跡,但不要求證明.
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;
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【題目】如圖,在四棱錐V﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱VA⊥底面ABCD,點(diǎn)E為VA的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:VC∥平面BED;
(Ⅱ)求證:平面VAC⊥平面BED.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點(diǎn)x=0處的切線為l:4x+y﹣5=0,若x=﹣2時(shí),y=f(x)有極值.
(1)求a,b,c的值;
(2)求y=f(x)在[﹣3,1]上的最大值和最小值.
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【題目】關(guān)于圓周率,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā),我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)的值:先請200名同學(xué),每人隨機(jī)寫下一個(gè)都小于1的正實(shí)數(shù)對(x,y);再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(x,y)的個(gè)數(shù)m;最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)m來估計(jì)的值.假如統(tǒng)計(jì)結(jié)果是m=56,那么可以估計(jì)__________.(用分?jǐn)?shù)表示)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求在上的最大值和最小值;
(2)設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為處的切線方程為,求證:對于任意的正實(shí)數(shù),都有.
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【題目】如圖,P是雙曲線 (a>0,b>0,xy≠0)上的動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是雙曲線的焦點(diǎn),M是∠F1PF2的平分線上一點(diǎn),且.某同學(xué)用以下方法研究|OM|:延長F2M交PF1于點(diǎn)N,可知△PNF2為等腰三角形,且M為F2N的中點(diǎn),得|OM|=|NF1|=…=a。類似地:P是橢圓 (a>b>0,xy≠0)上的動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn),M是∠F1PF2的平分線上一點(diǎn),且,則|OM|的取值范圍是________.
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