Question

【題目】在無窮數(shù)列中，，對于任意，都有，. 設(shè)， 記使得成立的的最大值為.

（1）設(shè)數(shù)列為1，3，5，7，，寫出，，的值；

（2）若為等差數(shù)列，求出所有可能的數(shù)列；

（3）設(shè)，，求的值.（用表示）

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)使得成立的的最大值為，，則，，則，，則，這樣就寫出，，的值；（2）若為等差數(shù)列，先判斷，再證明，即可求出所有可能的數(shù)列；（3）確定，，依此類推，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出，從而求出的值．

試題解析：（1），，. 3分

（2）由題意，得，

結(jié)合條件，得. 4分

又因?yàn)槭沟?/span>成立的的最大值為，使得成立的的最大值為，

所以，. 5分

設(shè)，則.

假設(shè)，即，

則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，.

因?yàn)?/span>為等差數(shù)列，

所以公差，

所以，其中.

這與矛盾，

所以. 6分

又因?yàn)?/span>，

所以，

由為等差數(shù)列，得，其中. 7分

因?yàn)槭沟?/span>成立的的最大值為，

所以，

由，得. 8分

（3）設(shè)，

因?yàn)?/span>，

所以，且，

所以數(shù)列中等于1的項(xiàng)有個(gè)，即個(gè)； 9分

設(shè)，

則， 且，

所以數(shù)列中等于2的項(xiàng)有個(gè)，即個(gè)； 10分

以此類推，數(shù)列中等于的項(xiàng)有個(gè). 11分

所以

.

即. 13分