【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，其左、右焦點(diǎn)為F1、F2 ， 點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且|OP|= ， = ，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，過點(diǎn)S（0，﹣ ）的動直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【答案】
（1）解：設(shè)P（x0，y0），∵|OP|= ，∴ = ，①

又 = ，∴（﹣c﹣x0，﹣y0）（c﹣x0，﹣y0）= ，即 ，②

①代入②得：c=1．又e= ，∴a= ，b=1，

故所求橢圓方程為 =1


（2）解：假設(shè)存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)．

當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為：x2+y2=1，…③

當(dāng)AB⊥y軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為： ，…④

由③，④知定點(diǎn)M（0，1）．

下證：以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)M（0，1）．

設(shè)直線l：y=kx﹣ ，代入 =1，有（2k2+1）x2﹣ =0．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則 ， ．

則 ，

=x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）=

=（1+k2）x1x2﹣ +

=（1+k2） ﹣ + =0，

∴在y軸上存在定點(diǎn)M（0，1），使以AB為直徑的圓恒過M（0，1）這個(gè)定點(diǎn)


【解析】（1）設(shè)P（x0，y0），由|OP|= ， = ，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓方程．（2）假設(shè)存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)．當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為：x2+y2=1，當(dāng)AB⊥y軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為： ，從而求出定點(diǎn)M（0，1）．再證明以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)M（0，1）．由此得到在y軸上存在定點(diǎn)M（0，1），使以AB為直徑的圓恒過M（0，1）這個(gè)定點(diǎn)．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓 : ，直線 ： ．
（1）設(shè)點(diǎn) 是直線 上的一動點(diǎn)，過 點(diǎn)作圓 的兩條切線，切點(diǎn)分別為 ，求四邊形 的面積的最小值；
（2）過 作直線 的垂線交圓 于 點(diǎn)， 為 關(guān)于 軸的對稱點(diǎn)，若 是圓 上異于 的兩個(gè)不同點(diǎn)，且滿足： ，試證明直線 的斜率為定值．

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【題目】如圖所示，已知幾何體的三視圖，用斜二測畫法畫出它的直觀圖．

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【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝1－ ，則不等式f(x)<－ 的解集是 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出下列命題： ①定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（2）＞f（1），則f（x）一定不是R上的減函數(shù)；
②用反證法證明命題“若實(shí)數(shù)a，b，滿足a2+b2=0，則a，b都為0”時(shí)，“假設(shè)命題的結(jié)論不成立”的敘述是“假設(shè)a，b都不為0”．
③把函數(shù)y=sin（2x+ ）的圖象向右平移 個(gè)單位長度，所得到的圖象的函數(shù)解析式為y=sin2x．
④“a=0”是“函數(shù)f（x）=x3+ax2（x∈R）為奇函數(shù)”的充分不必要條件．
其中所有正確命題的序號為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx﹣ x2+bx存在極小值，且對于b的所有可能取值，f（x）的極小值恒大于0，則a的最小值為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），l交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及m的取值范圍；
（2）求證直線MA，MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定義在 上的函數(shù)滿足 ,當(dāng) 時(shí), .
（1）求證： 為奇函數(shù);
（2）求證： 為 上的增函數(shù);
（3）解關(guān)于 的不等式: (其中 且 為常數(shù)).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知 是上、下底邊長分別為2和6，高為 的等腰梯形，將它沿對稱軸 折疊，使二面角 為直二面角.

（1）證明： ；
（2）求二面角 的正弦值.

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