Question

【題目】已知函數(shù)g（x）=ex ， f（x）= ，f（x）是定義在R上的奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）若關(guān)于t的方程f（2t2﹣mt）+f（1﹣t2）=0有兩個根α、β，且α＞0，1＜β＜2，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，

∴f（0）= ，即a=1．又f（﹣1）=﹣f（1），即 ，可得b=e．

所以f（x）= ．

又f（﹣x）= ，

所以a=1，b=e成立

（2）解：f（x）= ，易得f（x）在R上單調(diào)遞減．

方程f（2t2﹣mt）+f（1﹣t2）=0可轉(zhuǎn)化為f（2t2﹣mt）=﹣f（1﹣t2），又函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則

f（2t2﹣mt）=f（t2﹣1）．又函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，

所以2t2﹣mt=t2﹣1，即t2﹣mt+1=0．

考慮函數(shù)h（t）=t2﹣mt+1，

（i）若α=1或2，則m=2或 ，易得 ，與β∈（1，2）矛盾；

（ii）若0＜α＜1或α＞2，則h（1）h（2）＜0，即（2﹣m）（5﹣2m）＜0， ；

（iii）若1＜α＜2，則只需滿足 ，

由以上（i）、（ii）、（iii）可知

【解析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義求解；（2）利用奇函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，借助與一元二次函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．