【題目】設(shè),函數(shù).

(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)設(shè),問是否存在極值, 若存在, 請求出極值; 若不存在, 請說明理由;

(3)設(shè)是函數(shù)圖象上任意不同的兩點, 線段的中點為,直線的斜率為.證明:.

【答案】(1)時, ;當時, (2)時, 無極值; 時, 有極大值無極小值.(3)詳見解析

【解析】

試題分析:(1)先求導函數(shù),再在定義區(qū)間內(nèi)求導函數(shù)零點:當時, 恒成立, 時, ,最后列表分析區(qū)間導數(shù)符號,確定單調(diào)增區(qū)間(2)先求導函數(shù),再在定義區(qū)間內(nèi)求導函數(shù)零點:當時, 恒有,當時, 最后列表分析區(qū)間導數(shù)符號,確定極值,(3)先分析不等式:,再構(gòu)造對應(yīng)函數(shù):因為,所以設(shè),即只要為增函數(shù)

試題解析:在區(qū)間上,.

(1). 時, 恒成立,的單調(diào)遞增區(qū)間為時, ,即,得的單調(diào)遞增區(qū)間為.

綜上所述: 時, 的單調(diào)遞增區(qū)間為;當時,的單調(diào)遞增區(qū)間為.

(2),得,當時, 恒有,

上為單調(diào)遞增函數(shù), 上無極值; 時, ,得單調(diào)遞增, 單調(diào)遞減, ,無極小值. 綜上所述: 時, 無極值; 時, 有極大值無極小值.

(3)證明:, ,要證:,即證,不妨設(shè),即證,即證,設(shè),即證,也就是要證,其中,事實上:設(shè),則,所以上單調(diào)遞增,因此,即結(jié)論成立.

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