(本大題滿分14分)
已知中心在原點,頂點A1、A2在x軸上,其漸近線方程是,雙曲線過點
(1)求雙曲線方程
(2)動直線經(jīng)過的重心G,與雙曲線交于不同的兩點M、N,問:是否存在直線,使G平分線段MN,證明你的結(jié)論
(1)所求雙曲線方程為="1" ;
(2)所求直線不存在。
本試題主要是考查了雙曲線方程的求解,已知直線與雙曲線的位置關(guān)系的綜合運用。
(1)利用已知中的漸近線方程是,雙曲線過點
那么設(shè)出雙曲線的標準方程,然后代入點和a,b的關(guān)系得到求解。
(2)假設(shè)存在直線,使G(2,2)平分線段MN,那么利用對稱性,分別設(shè)出點的坐標,那么聯(lián)立方程組,可知斜率,得到直線的方程,從而驗證是否存在。
(1)如圖,設(shè)雙曲線方程為=1 …………1分

由已知得………………………………………3分
解得 …………………………………………………5分
所以所求雙曲線方程為="1" ……………………6分
(2)P、A1、A2的坐標依次為(6,6)、(3,0)、(-3,0),
∴其重心G的坐標為(2,2)…………………………………………………………8分
假設(shè)存在直線,使G(2,2)平分線段MN,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2) 則有
,∴kl=……………………10分
l的方程為y=(x-2)+2,12分
,消去y,整理得x2-4x+28="0"
Δ=16-4×28<0,∴所求直線不存在…………………………………………14分
練習冊系列答案
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