Question

【題目】已知函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)為，與此交點(diǎn)距離最小的最高點(diǎn)坐標(biāo)為.

（Ⅰ）求函數(shù)的表達(dá)式；

（Ⅱ）若函數(shù)滿足方程，求方程在內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和；

（Ⅲ）把函數(shù)的圖像的周期擴(kuò)大為原來的兩倍，然后向右平移個(gè)單位，再把縱坐標(biāo)伸長為原來的兩倍，最后向上平移一個(gè)單位得到函數(shù)的圖像．若對(duì)任意的，方程在區(qū)間上至多有一個(gè)解，求正數(shù)k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）依題意作出部分函數(shù)圖像，由最大值確定A，周期確定，特殊點(diǎn)確定即可求出解析式；（Ⅱ）由周期知在內(nèi)恰有2個(gè)周期，則方程有四個(gè)根，結(jié)合圖像利用對(duì)稱軸即可求出所有根的和；（Ⅲ）根據(jù)三角函數(shù)的圖像變化，數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.

（Ⅰ）從圖知，函數(shù)的最大值為1，則，

函數(shù)的周期為，而，則

又時(shí)，，，，

解得，而，則，

∴函數(shù)的表達(dá)式為.

（Ⅱ）的周期為，

在內(nèi)恰有2個(gè)周期，

并且方程在內(nèi)有4個(gè)實(shí)根設(shè)為，

結(jié)合圖像知.

故所有實(shí)數(shù)之和為.

（Ⅲ）先把的圖像的周期擴(kuò)大為原來的兩倍，得到，然后向右平移個(gè)單位得到，縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍再向上平移1個(gè)單位得到，

函數(shù)的圖象如圖所示，

則當(dāng)圖象伸長為原來的5倍以上時(shí)符合題意，所以.