Question

【題目】若，設(shè)其定義域上的區(qū)間（）.

（1）判斷該函數(shù)的奇偶性，并證明；

（2）當(dāng)時，判斷函數(shù)在區(qū)間（）上的單調(diào)性，并證明；

（3）當(dāng)時，若存在區(qū)間（），使函數(shù)在該區(qū)間上的值域為，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析；（2）在（）為增函數(shù)，證明見解析；（3）

【解析】

（1）首先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)定義法證明函數(shù)的奇偶性；

（2）利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，按照：設(shè)元、作差、變形、判斷符號、下結(jié)論的步驟完成即可；

（3）由（1）得，當(dāng)時，在為減函數(shù)，故若存在定義域，，使值域為，則有，從而問題可轉(zhuǎn)化為，是方程的兩個解，進(jìn)而問題得解．

解：（1）因為

由解得或，即的定義域為，關(guān)于原點對稱．

為奇函數(shù).

（2）在（）為增函數(shù)；

證明：的定義域為，則．

設(shè)，，則，且，，

，

即，

因為時，所以，即，

所以在（）為增函數(shù)．

（3）由（1）得，當(dāng)時，在（）為遞減函數(shù)，

若存在定義域（），使值域為，

則有

，是方程在上的兩個相異的根，

即，

即在上的兩個相異的根，

令，

則在有2個零點，

解得

即當(dāng)時，，

當(dāng)時，方程組無解，即（）不存在．