Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（Ⅰ）若，求直線(xiàn)被曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段的長(zhǎng)度；

（Ⅱ）若，在曲線(xiàn)上求一點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最小，并求出最小距離.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題（Ⅰ）由題意，得曲線(xiàn)的普通方程和直線(xiàn)的普通方程，聯(lián)立方程組，解焦點(diǎn)，即可求解截曲線(xiàn)的線(xiàn)段長(zhǎng)；

（Ⅱ）解法一：時(shí)，得直線(xiàn)的普通方程，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，得到距離的表達(dá)式，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解最小值.

試題解析：

（Ⅰ）曲線(xiàn)的普通方程為.

當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的普通方程為.

由.解得或，

直線(xiàn)被曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段的長(zhǎng)度為.

（Ⅱ）解法一：時(shí)，直線(xiàn)的普通方程為.

由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，橢圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)：的距離為

，

其中滿(mǎn)足，.

由三角函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，取最小值.

此時(shí)，，.

因此，當(dāng)點(diǎn)位于時(shí)，點(diǎn)到的距離取最小值.

解法二：當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的普通方程為.

設(shè)與平行，且與橢圓相切的直線(xiàn)的方程為.

由消去并整理得.

由判別式，解得.

所以，直線(xiàn)的方程為，或.

要使兩平行直線(xiàn)與間的距離最小，則直線(xiàn)的方程為.

這時(shí)，與間的距離 .

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為方程組的解.

因此，當(dāng)點(diǎn)位于時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離取最小值.