【題目】已知曲線：與曲線：交于，兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．

（Ⅰ）求曲線的方程．

（Ⅱ）設(shè)過(guò)曲線焦點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，．求證：為定值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析．

【解析】

（Ⅰ）確定圓的圓心和半徑，根據(jù)周長(zhǎng)可求得，由圓心到直線距離可確定弦的一個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程求得后即可得到結(jié)果；

（Ⅱ）設(shè)直線，，，將方程與拋物線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，利用，代入韋達(dá)定理的結(jié)論整理可得定值.

（Ⅰ）曲線方程可整理為：，則圓心，半徑，

又曲線，關(guān)于軸對(duì)稱，則軸，

的周長(zhǎng)為，，

到的距離，故弦的一個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為，

，解得：，拋物線的方程為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由于直線不與軸重合，可設(shè)：，

設(shè)，，

由，消去整理得：，，，

，

為定值．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線與以為直徑的圓的公共點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.B.C.D.的面積為

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【題目】已知函數(shù)．

（1）若在處的切線的方程為，求此時(shí)的最值；

（2）若對(duì)任意，，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為，圓經(jīng)過(guò)橢圓的短軸端點(diǎn)．

求橢圓的方程；

過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別與橢圓相交于，和，四點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}滿足：a1=0，（n∈N*），前n項(xiàng)和為Sn (參考數(shù)據(jù)： ln2≈0.693，ln3≈1.099)，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（ ）

A.是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列B.

C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為、，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，，若；是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線，的斜率乘積為定值，若存在，求出定點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計(jì)劃改建十個(gè)實(shí)驗(yàn)室，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用分為裝修費(fèi)和設(shè)備費(fèi)，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)都一樣，設(shè)備費(fèi)從第一到第十實(shí)驗(yàn)室依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知第五實(shí)驗(yàn)室比第二實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高42萬(wàn)元，第七實(shí)驗(yàn)室比第四實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高168萬(wàn)元，并要求每個(gè)實(shí)驗(yàn)室改建費(fèi)用不能超過(guò)1700萬(wàn)元.則該研究所改建這十個(gè)實(shí)驗(yàn)室投入的總費(fèi)用最多需要( )

A.3233萬(wàn)元B.4706萬(wàn)元C.4709萬(wàn)元D.4808萬(wàn)元

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，以為圓心過(guò)橢圓左頂點(diǎn)的圓與直線相切于，且滿足．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，問(wèn)內(nèi)切圓面積是否有最大值？若有，求出最大值；若沒(méi)有，說(shuō)明理由．

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【題目】如圖，點(diǎn)為正方形邊上異于點(diǎn)，的動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折成，在翻折過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.存在點(diǎn)和某一翻折位置，使得

B.存在點(diǎn)和某一翻折位置，使得平面

C.存在點(diǎn)和某一翻折位置，使得直線與平面所成的角為45°

D.存在點(diǎn)和某一翻折位置，使得二面角的大小為60°

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