【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PD= ,O為AC與BD的交點(diǎn),E為棱PB上一點(diǎn).
(Ⅰ)證明:平面EAC⊥平面PBD;
(Ⅱ)若PD∥平面EAC,求三棱錐P﹣EAD的體積.
【答案】(Ⅰ)證明:∵PD⊥平面ABCD,AC平面ABCD, ∴AC⊥PD.∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,
又∵PD∩BD=D,AC⊥平面PBD.
而AC平面EAC,∴平面EAC⊥平面PBD.
(Ⅱ)解:∵PD∥平面EAC,平面EAC∩平面PBD=OE,
∴PD∥OE,
∵O是BD中點(diǎn),∴E是PB中點(diǎn).
取AD中點(diǎn)H,連結(jié)BH,∵四邊形ABCD是菱形,∠BAD=60°,
∴BH⊥AD,又BH⊥PD,AD∩PD=D,∴BD⊥平面PAD, .
∴
= = .
【解析】(Ⅰ)由已知得AC⊥PD,AC⊥BD,由此能證明平面EAC⊥平面PBD.(Ⅱ)由已知得PD∥OE,取AD中點(diǎn)H,連結(jié)BH,由此利用 ,能求出三棱錐P﹣EAD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣4|,g(x)=|2x+1|.
(1)解不等式f(x)<g(x);
(2)若2f(x)+g(x)>ax對任意的實(shí)數(shù)x恒成立,求a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣1|﹣|x+2|. (Ⅰ)求不等式﹣2<f(x)<0的解集A;
(Ⅱ)若m,n∈A,證明:|1﹣4mn|>2|m﹣n|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=xln(ax+1)(a≠0).
(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若a>0且滿足:對x1 , x2∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤ln3﹣ln2,試比較ea﹣1與 的大小,并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=x3+x,x∈R,當(dāng) 時(shí),f(msinθ)+f(1﹣m)>0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.(0,1)
B.(﹣∞,0)
C.
D.(﹣∞,1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片,其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3,從盒中任取3張卡片.
(1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率;
(2)表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
(注:若三個數(shù)滿足,則稱為這三個數(shù)的中位數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣1|+|x+a|﹣x﹣2. (Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)>0的解集;
(Ⅱ)設(shè)a>﹣1,且存在x0∈[﹣a,1),使得f(x0)≤0,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某校矩形的航天知識競賽中,參與競賽的文科生與理科生人數(shù)之比為1:3,且成績分布在范圍內(nèi),規(guī)定分?jǐn)?shù)在80以上(含80)的同學(xué)獲獎,按文理科用分層抽樣的放發(fā)抽取200人的成績作為樣本,得到成績的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)填寫下面的列聯(lián)表,能否有超過95%的把握認(rèn)為“獲獎與學(xué)生的文理科有關(guān)”;
(Ⅱ)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,現(xiàn)從參賽學(xué)生中,任意抽取3名學(xué)生,記“獲獎”學(xué)生人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附表及公式:,其中
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,…).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)當(dāng)bn= (3an+1)時(shí),求證:數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn=.
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