Question

（2013•山東）設等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{b_n}滿足

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1-

1

2n

，n∈N^*，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，由S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1得到關于a₁與d的方程組，解之即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=2n-1，繼而可求得b_n=

2n-1

2n

，n∈N^*，于是T_n=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，利用錯位相減法即可求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，由S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1得：

4a1+6d=8a1+4d a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1

，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=2n-1，n∈N^*．
（Ⅱ）由已知

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1-

1

2n

，n∈N^*，得：
當n=1時，

b1

a1

=

1

2

，
當n≥2時，

bn

an

=（1-

1

2n

）-（1-

1

2n-1

）=

1

2n

，顯然，n=1時符合．
∴

bn

an

=

1

2n

，n∈N^*
由（Ⅰ）知，a_n=2n-1，n∈N^*．
∴b_n=

2n-1

2n

，n∈N^*．
又T_n=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，
∴

1

2

T_n=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，
兩式相減得：

1

2

T_n=

1

2

+（

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

）-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

∴T_n=3-

2n+3

2n

．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，著重考查等差數(shù)列的通項公式與數(shù)列求和，突出考查錯位相減法求和，考查分析運算能力，屬于中檔題．