Question

已知定義域為R的函數(shù)f(x)=

a•2x-1

2x+1

是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）試判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）若對任意的t∈[-2，2]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由奇函數(shù)的定義得到f（-x）=-f（x），解出f（0）=0代入解析式求解即可
（2）由（1）f(x)=

2x-1

2x+1

，任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，作差，利用定義法證明其單調(diào)性；
（3）由奇函數(shù)的性質(zhì)將不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立的問題轉(zhuǎn)化為，f（t²-2t）＜f（-2t²+k）對t∈[-2，2]恒成立利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，整理得到一個一元二次不等式在t∈[-2，2]恒成立，借用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．

解答：解：（1）f（-x）=-f（x）?f（0）=0
則

a-1

1+1

=0?a=1
（2）f（x）為遞增函數(shù)
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂∴2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0
∴f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）為遞增函數(shù)
（3）f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0對t∈[-2，2]恒成立
則f（t²-2t）＜-f（2t²-k）對t∈[-2，2]恒成立
因為f（x）為奇函數(shù)，即f（-x）=-f（x）
則f（t²-2t）＜f（-2t²+k）對t∈[-2，2]恒成立
又因為f（x）為遞增函數(shù)
所以t²-2t＜-2t²+k對t∈[-2，2]恒成立
即3t²-2t-k＜0對t∈[-2，2]恒成立
令u=3t²-2t-k，t∈[-2，2]，當x=-2時，u_max=16-k
則16-k＜0，則k＞16

點評：本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，解題的關(guān)鍵是掌握住奇函數(shù)的性質(zhì)以及定義法證明單調(diào)性的原理與步驟，第三問中解抽象不等式是本題的重點，利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性結(jié)合解不等式是這兩個性質(zhì)的重要運用，這幾年的高考中時有出現(xiàn)，題后要總結(jié)一下此小題的解題規(guī)律，本小時易因為轉(zhuǎn)化不等價導(dǎo)致錯誤，切記．