已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=
-2x+a2x+1
是奇函數(shù)
(1)求a值;
(2)判斷并證明該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(4)設(shè)關(guān)于x的函數(shù)F(x)=f(4x-b)+f(-2x+1)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)奇函數(shù)當(dāng)x=0時(shí)的函數(shù)值為0,列出方程求出a的值;
(2)先判斷出單調(diào)性,再利用函數(shù)單調(diào)性的定義法進(jìn)行證明,即取值-作差-變形-判斷符號-下結(jié)論;
(3)利用函數(shù)的奇偶性將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)值比較大小,再由函數(shù)的單調(diào)性比較自變量的大小,列出不等式由二次函數(shù)恒成立進(jìn)行求解;
(4)根據(jù)函數(shù)解析式和函數(shù)零點(diǎn)的定義列出方程,再利用整體思想求出b的范圍.
解答:解:(1)由題設(shè),需f(0)=
-1+a
2
=0
,∴a=1,
f(x)=
1-2x
1+2x
,
經(jīng)驗(yàn)證,f(x) 為奇函數(shù),∴a=1.
(2)減函數(shù)
證明:任取x1,x2∈R,x1<x2,△x=x2-x1>0,
f(x2)-f(x1)=
1-2x2
1+2x2
-
1-2x1
1+2x1
=
2(2x1-2x2
(1+2x1)(1+2x2)
,
∵x1<x2 ∴0<2x12x2;
2x1-2x2<0,(1+2x1)(1+2x2)>0
∴f(x2)-f(x1)<0
∴該函數(shù)在定義域R 上是減函數(shù).
(3)由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 得f(t2-2t)<-f(2t2-k),
∵f(x) 是奇函數(shù),∴f(t2-2t)<f(k-2t2),
由(2)知,f(x) 是減函數(shù)
∴原問題轉(zhuǎn)化為t2-2t>k-2t2,即3t2-2t-k>0 對任意t∈R 恒成立,
∴△=4+12k<0,得k<-
1
3
即為所求.
(4)原函數(shù)零點(diǎn)的問題等價(jià)于方程f(4x-b)+f(-2x+1)=0
由(3)知,4x-b=2x+1,即方程b=4x-2x+1 有解
∴4x-2x+1=(2x2-2×2x=(2x-1)2-1≥-1,∴當(dāng)b∈[-1,+∞) 時(shí)函數(shù)存在零點(diǎn).
點(diǎn)評:本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用,利用奇函數(shù)的定義域內(nèi)有0時(shí)有f(0)=0進(jìn)行求值,函數(shù)單調(diào)性的證明必須按照定義法進(jìn)行證明,即取值-作差-變形-判斷符號-下結(jié)論,利用二次函數(shù)的性質(zhì),以及整體思想求出恒成立問題.
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