【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程選講
在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為 (a>0,β為參數(shù)),以O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,直線l的極坐標方程ρcos(θ﹣ )=
(Ⅰ)若曲線C與l只有一個公共點,求a的值;
(Ⅱ)A,B為曲線C上的兩點,且∠AOB= ,求△OAB的面積最大值.

【答案】(Ⅰ)曲線C是以(a,0)為圓心,以a為半徑的圓; 直線l的直角坐標方程為
由直線l與圓C只有一個公共點,則可得
解得:a=﹣3(舍)或a=1
所以:a=1.
(Ⅱ)由題意,曲線C的極坐標方程為ρ=2acosθ(a>0)
設A的極角為θ,B的極角為
則: = =
∵cos =
所以當 時, 取得最大值
∴△OAB的面積最大值為
解法二:因為曲線C是以(a,0)為圓心,以a為半徑的圓,且
由正弦定理得: ,所以|AB=
由余弦定理得:|AB2=3a2=|0A|2+|OB|2﹣|OA||OB|≥|OA||OB|
則: × =
∴△OAB的面積最大值為
【解析】(Ⅰ)根據(jù)sin2β+cos2β=1消去β為參數(shù)可得曲線C的普通方程,根據(jù)ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2 , 直線l的極坐標方程化為普通方程,曲線C與l只有一個公共點,即圓心到直線的距離等于半徑,可得a的值.(Ⅱ)利用極坐標方程的幾何意義求解即可.

練習冊系列答案
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【題目】張三同學從7歲起到13歲每年生日時對自己的身高測量后記錄如表:

年齡 (歲)

7

8

9

10

11

12

13

身高 (cm)

121

128

135

141

148

154

160

(Ⅰ)求身高y關于年齡x的線性回歸方程;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的線性回歸方程,分析張三同學7歲至13歲身高的變化情況,如17歲之前都符合這一變化,請預測張三同學15歲時的身高.
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=

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【題目】交強險是車主必須為機動車購買的險種.若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用(基準保費)統(tǒng)一為a元,在下一年續(xù)保時,實行的是費率浮動機制,保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系,發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,費率也就越高,具體浮動情況如表:

交強險浮動因素和浮動費率比率表

浮動因素

浮動比率

A1

上一個年度未發(fā)生有責任道路交通事故

下浮10%

A2

上兩個年度未發(fā)生有責任道路交通事故

下浮20%

A3

上三個及以上年度未發(fā)生有責任道路交通事故

下浮30%

A4

上一個年度發(fā)生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故

0%

A5

上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任道路交通事故

上浮10%

A6

上一個年度發(fā)生有責任道路交通死亡事故

上浮30%

某機構為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況,隨機抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況,統(tǒng)計得到了下面的表格:

類型

A1

A2

A3

A4

A5

A6

數(shù)量

10

5

5

20

15

5

以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率,完成下列問題:
(Ⅰ)按照我國《機動車交通事故責任強制保險條例》汽車交強險價格的規(guī)定a=950.記X為某同學家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費用,求X的分布列與數(shù)學期望值;(數(shù)學期望值保留到個位數(shù)字)
(Ⅱ)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車.假設購進一輛事故車虧損5000元,一輛非事故車盈利10000元:
①若該銷售商購進三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求這三輛車中至多有一輛事故車的概率;
②若該銷售商一次購進100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求他獲得利潤的期望值.

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