【題目】記無窮數(shù)列
的前
項中最大值為
，最小值為
，令
，
.
（1）若
，請寫出
的值；
（2）求證：“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列
是等差數(shù)列”的充要條件；
（3）若對任意，有
，且
，請問：是否存在
，使得對于任意不小于
的正整數(shù)，有
成立？請說明理由.
【答案】（1）5；（2）證明見解析；（3）存在，理由見解析.
【解析】
（1）計算得到
，代入計算得到答案.
（2）分別證明充分性和必要性得到答案.
（3）反證法，假設(shè)不成立，則
或
得到
，
，通過累加得到
，與題設(shè)矛盾，得證.
（1）（1）
，則，
（2）數(shù)列
是等差數(shù)列，設(shè)公差為
則
，
為定值，故數(shù)列
是等差數(shù)列；
數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為
，則
和
，
和
至少一組相等，不妨設(shè)只有
則
故
故
，為等差數(shù)列
同理可得只有
和都相等的情況，故數(shù)列是等差數(shù)列
綜上所述：“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件
（3）存在
假設(shè)不存在，則或，對任意
，一定存在
使得
符號相反.
所以數(shù)列中存在
，其中
且
；
因為
，即
注意到：
，有且僅有一個等號成立.
所以必有
所以，所以
因為
，所以
，所以
；
；
…
累加可得
；
故
這與
矛盾，假設(shè)不成立
故存在，使得對于任意不小于
的正整數(shù)
，有
成立
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
由方程
確定，下列結(jié)論正確的是________（請將你認為正確的序號都填上）
① 
是
上的單調(diào)遞減函數(shù)；
② 對于任意
，
恒成立；
③ 對于任意
，關(guān)于
的方程
都有解；
④ 存在反函數(shù)
，且對任意，總有
成立.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的兩個焦點分別為
，長軸長為
．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程及離心率；
（Ⅱ）過點
的直線
與橢圓交于
，
兩點，若點
滿足
，求證：由點 構(gòu)成的曲線
關(guān)于直線
對稱．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設(shè)數(shù)列
為首項是4，公差為1的等差數(shù)列，
為數(shù)列
的前
項和，且
。
（1）求數(shù)列及的通項公式
和
；
（2）
問是否存在
使
成立？若存在，求出
，若不存在，說明理由；
（3）對任意的正數(shù),不等式
恒成立，求正數(shù)
的取值范圍。
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】省環(huán)保廳對
、
、
三個城市同時進行了多天的空氣質(zhì)量監(jiān)測，測得三個城市空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)共有180個，三城市各自空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)個數(shù)如下表所示：
|
|
| |
優(yōu)（個） | 28 |
|
|
良（個） | 32 | 30 |
|
已知在這180個數(shù)據(jù)中隨機抽取一個，恰好抽到記錄
城市空氣質(zhì)量為優(yōu)的數(shù)據(jù)的概率為0.2.
（1）現(xiàn)按城市用分層抽樣的方法，從上述180個數(shù)據(jù)中抽取30個進行后續(xù)分析，求在
城中應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)的個數(shù)；
（2）已知
， 
，求在
城中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)大于空氣質(zhì)量為良的天數(shù)的概率.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，空間直角坐標系中，四棱錐
的底面是邊長為
的正方形，且底面在
平面內(nèi)，點
在
軸正半軸上，
平面
，側(cè)棱
與底面所成角為45°；
（1）若
是頂點在原點，且過
、
兩點的拋物線上的動點，試給出
與滿足的關(guān)系式；
（2）若
是棱上的一個定點，它到平面的距離為
（
），寫出、
兩點之間的距離
，并求的最小值；
（3）是否存在一個實數(shù)（），使得當取得最小值時，異面直線
與
互相垂直？請說明理由；
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】將所有平面向量組成的集合記作
，
是從到的映射，記作
或
，其中
都是實數(shù).定義映射的模為:在
的條件下
的最大值記做
.若存在非零向量
，及實數(shù)
使得
，則稱為的一個特征值.
（1）若
求；
（2）如果
,計算的特征值，并求相應(yīng)的
；
（3）試找出一個映射，滿足以下兩個條件:①有唯一特征值，②
.(不需證明)
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】選修4—4：極坐標與參數(shù)方程
在平面直角坐標系
中，將曲線
(
為參數(shù)) 上任意一點
經(jīng)過伸縮變換
后得到曲線
的圖形．以坐標原點
為極點，x軸的非負半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線
．
（Ⅰ）求曲線
和直線
的普通方程；
（Ⅱ）點P為曲線
上的任意一點，求點P到直線
的距離的最大值及取得最大值時點P的坐標．
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